Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
Несобственные интегралы 1-го рода
Пусть определена на и интегрируема на любом отрезке вида . Зафиксируем и рассмотрим определенный интеграл .
Опр. Несобственным интегралом 1 рода функции от до называется предел при определенного интеграла от до :
Если конечный предел , то несобственный интеграл от до называется сходящимся, в противном случае (т.е. если предел равен или не существует) – расходящимся.
Геометрический смысл – площадь бесконечной фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 8).
Аналогично для функции , определенной на по определению
(см. рис. 9).
Свойство линейности.
Если , сходятся, то сходятся интегралы
.
Аналогично для .
Вычисление несобственного интеграла 1-го рода.
Пусть – первообразная для на , тогда
Таким образом, сходится конечный предел первообразной
|
|
Примеры.
,
Рис. 10
Рис. 11
1.
Рис. 12
2.
Исследование несобственных интегралов 1-го рода на сходимость.
Признаки сходимости:
1. Признак сравнения.
Пусть
a. Если сходится, то также сходится (см. рис. 13).
b. Если расходится, то также расходится.
2. Предельный признак сравнения:
пусть для и при , т.е. .
Тогда и оба сходятся или оба расходятся.
3. Если сходится , то сходится и (обратное неверно!).
В качестве «образцов» интегралов для сравнения обычно используются интегралы
(a>0).
Примеры.
1. .
при расходится исходный интеграл расходится по предельному признаку.
При ; ; ,
; интеграл сходится по предельному признаку.
3.
Т.к. при (логарифм растет медленней степенной функции), то исходный интеграл сходится по признаку сравнения.
.
– сходится сходится по признаку 3.
Несобственные интегралы 2-го рода
Пусть непрерывна на , но не ограничена в левой окрестности точки . Определенный интеграл не существует, т.к. – неограниченная. Рассмотрим . Т.к. непрерывна на , то – определенный интеграл.
Опр. Несобственным интегралом 2 рода по от функции , неограниченной в окрестности точки , называется предел
Если существует конечный предел (1.8.2), то несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Геометрический смысл:
при – площадь фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 15).
Рис. 15
– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой .
– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой
Рис. 16
Свойство линейности.
|
|
Если , сходятся, то сходятся интегралы
.