Определение 4. Конечное число называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число (вообще говоря, зависящее от ), что при всех выполняется неравенство .
Обозначение: .
Определение 5. Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся.
ПРИМЕРЫ.
1). Доказать по определению, что .
Доказательство.
.
В качестве выберем где - символ целой части числа, тогда неравенство будет выполнено , ч.т.д.
2). Последовательность не имеет предела, так как нельзя указать номер, после которого все члены последовательности окажутся в сколь угодно малой окрестности какого-либо числа.
Определение 6. Последовательности, не имеющие предела, называются расходящимися.
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Определение 7. Последовательность называется бесконечно большой, если .
Бесконечно большая последовательность является неограниченной последовательностью. Обратное утверждение неверно. Например, неограниченная последовательность 0, 4, 0, 8, 0, 12,…не является бесконечно большой, т.к. не все члены последовательности после некоторого n становятся больше произвольного M.
|
|
Определение 8. Последовательность называется бесконечно малой, если .
Например, последовательность − бесконечно малая.