2020-04-07
672
Определение 9. Последовательность 
называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательности не меньше (не больше) предыдущего, т.е. если для всех номеров 
справедливо неравенство 
(
).
Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными последовательностями.
Если вместо нестрогих неравенств 
и 
имеют место строгие неравенства 
или 
, то последовательности называются возрастающей и убывающей соответственно.
ПРИМЕР.
1). Последовательность 
-неубывающая.
2). Последовательность 
– возрастающая, так как 
.
3). Последовательность 
– убывающая, так как 
.
Признак сходимости монотонной последовательности.
Теорема. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность 
ограничена сверху (снизу), то она сходится.
Любая неубывающая последовательность всегда ограничена снизу первым элементом. Любая невозрастающая последовательность всегда ограничена сверху первым элементом.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Не всякая сходящаяся последовательность является монотонной.
ПРИМЕР. 
,
, однако 
- немонотонная.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Неограниченная монотонная последовательность является бесконечно большой.
Число е как предел монотонной последовательности.
Доказательство заключается в установлении следующего неравенства 
. Последовательность 
является возрастающей и ограниченной сверху. По признаку сходимости монотонной последовательности из этого делается вывод о существовании ее предела 
.
В общем случае, если 
произвольная бесконечно малая последовательность и 
, то
.
