2020-04-07
123
Пример. Найти объём, расположенный под поверхностью 
над кругом радиуса R.
Вычислится с помощью несобственного двойного интеграла 
. Функция стремится к 
в (0,0). Тем не менее, объём конечен, так как в двумерном случае надо перейти к полярным координатам, тогда получается 
, во внутреннем интеграле из-за умножения на якобиан остаётся 1 и в итоге результат 
, а не .
Однако в сечении, проходящем через плоскость 
, получаем 
, расходящийся интеграл. Да и собственно говоря, в любом сечении, проходящем через ось симметрии, функция минус первой степени 
. То есть, существует бесконечное число сечений бесконечной площади, притом что объём тела конечен.
Если разбивать на повторные интегралы, то мы столкнёмся с сечением бесконечной площади, т.е. таким способом вычислить этот интеграл будет нельзя, а вот в полярных координатах можно.
Чертежи:
Пример. Вычислить 
где область 
, то есть плоскость вне круга радиуса 1.
Решение. 
= 
= 
=
= 
= 
= 
.
ЛЕКЦИЯ № 6. 26.02.2020
Глава 2.
Теория функций комплексного переменного.
|
|
|
