Пусть из генеральной совокупности X, значения признака которой имеют нормальный закон распределения с параметрами N(μ,σ) при неизвестном математическом ожидании μ и известной дисперсии σ2, взята случайная выборка объёмом n и вычислена выборочная средняя арифметическая , а μ0 и μ1 – определённые значения параметра μ. Для проверки нулевой гипотезы H0: μ = μ0 при конкурирующей гипотезе H1: μ = μ1 используют статистический критерий , который при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированное нормальное распределение N(0;1).
Согласно требованию к критической области при μ1 > μ0 выбирают правостороннюю критическую область, при μ1 < μ0 – левостороннюю, а при конкурирующей гипотезе Н1: μ = μ1 ≠ μ0 – двустороннюю критическую область.
Границы критической области tкр определяют по интегральной функции Лапласа Ф(t) из условий:
1) в случае правосторонней и левосторонней критической областей
Ф(tкр) = 1 – 2α,
где Ф(tкр) = – интегральная функция Лапласа;
|
|
2) в случае двусторонней критической области
Ф(tкр) = 1 – α.
Проверка гипотезы сводится к следующему: если |tн| > tкр, нулевая гипотеза H0 отвергается с вероятностью ошибки α, если |tн| ≤ tкр, то делается вывод, что нулевая гипотеза не противоречит опытным данным.
При проверке гипотезы о значении генеральной средней H0: μ = μ0 при неизвестной генеральной дисперсии σ2 используют статистический критерий , который при выполнении нулевой гипотезы H0 имеет распределение Стьюдента (t-распределение) с k = n – 1 степенями свободы.
Границы критической области tкр определяют по таблице t-распределения для заданного уровня значимости α (при двусторонней симметричной критической области) или 2α (при правосторонней и левосторонней критических областях) и числа степеней свободы k = n – 1.
Правила проверки гипотезы сводятся к следующему: если |tн| ≤ tкр, нулевая гипотеза H0 не отвергается. В противном случае, если |tн| > tкр, нулевая гипотеза H0 отвергается с вероятностью ошибки α.
Пример 1. В выборку попало 10 предприятий отрасли, по которым был проведён анализ производительности труда. Было установлено, что средний темп роста производительности труда по выборке составил 2,5% при среднем квадратическом отклонении 0,4. Проверить при уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу о том, что средний темп роста производительности труда в генеральной совокупности составит μ0 = 2,7%.
Решение. Поскольку генеральная дисперсия неизвестна, то при проверке нулевой гипотезы необходимо воспользоваться t-критерием, имеющим распределение Стьюдента с n – 1 = 10 – 1 = 9 степенями свободы.
|
|
Наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента равно:
Критическое значение t-критерия Стьюдента:
tкр (2α; n – 1) = tкр (0,1; 9) = 1,833.
Так как |tн| ≤ tкр (1,5 < 1,833), то нулевая гипотеза не отвергается.