Интервальные оценки для генеральной доли

Пусть в n независимых испытаниях некоторое событие A, вероятность появления которого в каждом испытании равна p, имело место m раз, где       0 ≤ m ≤ n. В качестве основы интервальной оценки генеральной доли используется точечная оценка вероятности – частость m / n (выборочная доля), где m – число элементов выборочной совокупности, обладающих данным признаком, n – объём выборочной совокупности.

При достаточно больших n (n > 30) можно считать, что частость имеет приближённо нормальное распределение с параметрами . В этом случае доверительный интервал для генеральной доли p определяется соотношением:

,

где t_γ определяется по таблице интегральной функции Лапласа Ф(t):

w – частость события A;

1− w – частость противоположного события Ā;

n – объём выборки.

Точность оценки генеральной доли p равна:

где σ_w – средняя квадратическая (стандартная) ошибка выборочной доли, которая рассчитывается по следующим формулам:

а) в случае повторной выборки: ;

б) в случае бесповторной выборки: .

Тогда доверительный интервал для генеральной доли p будет иметь следующие границы:

Если задан доверительный интервал для оценки генеральной доли или вероятности (p_min; p_max) при большом объёме выборки, то надёжность попадания вероятности в заданный интервал определяется из условия:

где , .

Пример 4. Из партии, содержащей 2000 деталей для проверки качества было случайно отобрано 50 деталей, среди которых 4 оказались нестандартными. Определить границы доверительного интервала, в которых с надёжностью 0,954 заключена генеральная доля нестандартных изделий во всей партии.

Решение. Находим выборочную долю:

Коэффициент доверия по нормальному распределению при заданном уровне надёжности равен: t_γ = 2. Тогда точность оценки генеральной доли составит:

 Границы доверительного интервала для генеральной доли:

Таким образом, доля нестандартных изделий во всей партии с вероятностью 0,954 составляет: 0,004 ≤ p ≤ 0,156.

Пример 5. При испытании зерна на всхожесть из n = 400 зёрен проросло m = 384. С надёжностью γ = 0,9812 определить доверительный интервал для генеральной доли p.

Решение. По таблице интегральной функции Лапласа из условия             γ = Ф(t_γ) = 0,9812 определяем t_γ = 2,35.

Учитывая, что , определим точность оценки:

Доверительный интервал равен:

0,96 – 0,023 ≤ p ≤ 0,96 + 0,023

и окончательно  0,937 ≤ p ≤ 0,983.

 

 

Таблица 1. Основные формулы, используемые при интервальном оценивании параметров распределений

Оцениваемый параметр	Условия оценки	Используемое распределение	Точность оценки	Доверительный интервал
Генеральная средняя μ	σ известно	Ф(t)
	σ не известно	S(t)
Генеральная дисперсия σ2 (или σ)	n ≤ 30	χ2
	n > 30	Ф(t)
Генеральная доля p		Ф(t)

 

 

Таблица 2. Основные формулы для определения объёма выборки

Объём выборки N	Повторный отбор	Бесповторный отбор
При определении среднего размера признака
При определении доли признака

Вместо неизвестных характеристик генеральной совокупности – генеральной дисперсии σ² и генеральной доли p – обычно используют выборочную дисперсию S² и выборочную долю w.