2020-04-07
146
Пусть бесконечно длинный цилиндр с произвольным поперечным сечением S заряжен с объемной плотностью ρ. Направим ось OZ декартовой системы координат вдоль цилиндра, тогда потенциал и напряженность электрического поля будут зависеть от координат x и y:
Вектор 
лежит в плоскости 
(рис 17); такое поле называется плоско-параллельным.
 |
Рис. 17 Поперечное сечение заряженного цилиндра 
; точки поля 
и 
, точка интегрирования 
Разобьем цилиндр на нити, параллельные оси 
. Площадь поперечного сечения каждой нити равна 
, она несет заряд 
на единицу своей длины. Каждая нить возбуждает электрическое поле, потенциал которого определяется по формуле (16).
Применив принцип наложения и перейдя к пределу при 
и 
где 
– число нитей, на которые делится заряженный цилиндр, получаем интеграл
(17)
Плотность заряда ρ не обязательно постоянна, возможно, что 
. В математической физике выражение (17) называется логарифмичемим потенциалом.
|
|
|
Напряженность электрического поля, созданного заряженным цилиндром, равна
Перемена порядка дифференцирования и интегрирования может быть обоснована с помощью примера, рассмотренного в п. 9.2, где показано, что особенность подынтегральной функции (
) заключенная в круговой цилиндр малого радиуса 
, не дает никакого вклада в последний интеграл. Этот несобственный интеграл сходится к своему главному значению.
§10. Проводники в электростатическом поле
10.1. Заряженный проводник
В проводящих телах (проводниках) валентные электроны или свободные ионы могут свободно перемещаться внутри этих тел. Если внутрь проводника проникает электрическое поле, то свободные заряды приходят в движение под действием этого поля и перемещаются до тех пор, пока поле, созданное разделенными свободными зарядами, не скомпенсирует внешнее электрическое поле. Поле, проникшее в проводник извне, и поле, созданное собственными зарядами проводника, в любой его точке взаимно уравновешивают друг друга. Напряженности этих полей равны по величине и противоположны по направлению. Напряженность результирующего поля равна нулю, т.е. в состоянии равновесия (в статике) электрического поля внутри проводника нет.
В объеме проводника, включая его поверхность, электрический потенциал одинаков. Разность потенциалов между двумя любыми точками проводника равна нулю,
потому что везде на линии, проходящей внутри проводника между точками 1 и 2, 
.
Свободные заряды, разделенные под действием внешнего электрического поля, накапливаются на поверхности проводника. Они не могут выйти за пределы проводника в непроводящее пространство (рис.18). На поверхности проводника вектор напряженности 
имеет только нормальную составляющую. Наличие касательной составляющей привело бы к движению свободных зарядов по поверхности проводника, что в статическом режиме невозможно.
|
|
|
Рис. 18. Точечный заряд 
, расположенный рядом с проводником, притягивает отрицательные свободные заряды и отталкивает положительные
Согласно формуле (15) на поверхности, на которой распределен заряд с плотностью σ, нормальная составляющая напряженности электрического поля испытывает скачок, пропорциональный плотности заряда. Так как внутри проводника напряженность поля равна нулю, то на наружной стороне поверхности проводника нормальная составляющая напряженности пропорциональна плотности заряда:
(18)
Если проводящему телу сообщить избыточный электрический заряд, то он разойдется по поверхности тела:
Потенциал проводника равен:
где точка 1 принадлежит поверхности тела S. При увеличении заряда 
в 
раз плотность заряда во всех точках поверхности увеличивается в 
раз, потому что условия распределения заряда по поверхности тела, согласно принципу наложения, не зависят от величины заряда. Соответственно, в n раз увеличится потенциал тела. Коэффициент пропорциональности между зарядом и потенциалом проводника (по отношению к бесконечности) называется электрической емкостью уединенного проводника по отношению к бесконечности:
Единица электрической емкости есть фарад, 
. Величина, обратная емкости уединенного проводника, называется его потенциальным коэффициентом: 
; 
с.
