Физический смысл криволинейного интеграла первого рода

Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

Пусть гладкая кривая задана параметрически уравнениями . При этом для определенности будем считать, что точке соответствует значение , точке . Тогда для любой точки кривой длина дуги может быть вычислена по формуле

(6)

откуда находим

(7)

Тогда в правом интеграле равенства (3), сделав замену и учитывая (7), получим

(8)

Отметим некоторые свойства криволинейного интеграла первого рода.

1. Свойство линейности. Если существуют криволинейные интегралы первого рода и , то для любых действительных чисел существует интеграл , и при этом справедливо равенство

2. Свойство аддитивности. Если существует интеграл , то для любой точки кривой существуют интегралы и , при этом справедливо равенство

Физический смысл криволинейного интеграла первого рода.

Пусть на плоскости дана некоторая кусочно гладкая кривая , вдоль которой расположены массы. Пусть линейная плотность массы в точке кривой . Разбивая кривую точками и считая, что в каждой точке частичной дуги плотность приблизительно равна одному и тому же значению , найдем массу дуги . Эта масса равна , тогда масса всей кривой будет приблизительно равна

Переходя к пределу в последнем равенстве, при стремлении к нулю наибольшей длины частичных дуг, получим

Таким образом, криволинейный интеграл определяет массу кривой , имеющей в каждой точке линейную плотность массы .

3. Криволинейный интеграл первого рода для случая пространственной кривой.

Пусть – гладкая или кусочно гладкая кривая в пространстве , и пусть в каждой точке кривой определена некоторая функция .

Рассмотрим произвольное разбиение кривой . Выбирая в каждой частичной дуге произвольную точку , составим интегральную сумму

(9)

где - длина ой частичной дуги .

Определение. Если существует предел интегральной суммы (9) при стремлении к нулю наибольшей длины частичных дуг, то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой и обозначается символом либо .

Точно так же, как для плоской кривой, доказывается, что если кривая задана параметрически уравнениями , то справедливо равенство

(10)

§3.Криволинейные интегралы второго рода

Пусть на кривой плоскости заданы две ограниченные функции . Разобьем кривую на частей точками . В каждой частичной дуге выберем произвольную точку и вычислим в ней значения функций и . Значение мы домножим на этот раз не на длину дуги , а на величину проекции дуги на ось , т.е. на ; и составим сумму

(1)

Аналогично, значение умножим на проекцию дуги на ось и составим сумму

(2)

Как и раньше, через будем обозначать максимальную длину частичных дуг.

Определение. Если существует предел интегральной суммы (1) при стремлении к нулю максимальной длины частичных дуг , то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода по кривой взятой от функции и обозначается следующим образом .

Если существует предел интегральной суммы (2) при , то этот предел также называется криволинейным интегралом второго род а и обозначается следующим образом .

Сумма называется общим криволинейным интегралом второго рода и обозначается символом .

Рассмотрим теперь случай пространственной кривой.

Пусть на кривой пространства определены ограниченные функции , и . Рассмотрим произвольное разбиение кривой точками . Взяв на каждой частичной дуге произвольно по точке , составим следующие интегральные суммы

(3)

(4)

(5)

где - величина проекции дуги на ось , - величина проекции дуги на ось , - величина проекции дуги на ось .

Определение. Если существуют пределы интегральных сумм (3), (4), (5) при стремлении к нулю максимальной длины частичных дуг, то эти пределы называются криволинейными интегралами второго рода и обозначаются соответственно символами

, , .

Сумма

называется общим криволинейным интегралом и обозначается символом .

Криволинейные интегралы второго рода, как и интегралы первого рода, легко сводятся к определенным интегралам.

Рассмотрим случай плоской кривой. Пусть кривая задана параметрически уравнениями , где и их производные непрерывные функции, причем точке кривой соответствует значении , точке значение . Кроме того будем предполагать, что

Пусть функции и непрерывны вдоль прямой . Тогда справедливы следующие равенства:

, (6)

, (7)

(8)

Доказательство равенств (6), (7), (8) мы не приводим.

Отметим, что если кривая в пространстве задана параметрически , , , , где функции и их производные непрерывны, причем , точке соответствует значение , а точке - , а функции непрерывны вдоль кривой , то справедливы следующие равенства

, (9)

, (10)

, (11)

, (12)

Из формул (6), (7), (8) следует, что криволинейный интеграл второго рода обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла.

В отличие от криволинейного интеграла первого рода криволинейный интеграл второго рода зависит от того, в каком направлении проходится кривая , и меняет знак при изменении направления обхода, то есть

Действительно, при изменении направления обхода кривой, в интегральных суммах (1) и (2) поменяются знаки проекций и , следовательно, сами интегральные суммы и их пределы изменят знак.

Пусть теперь точки совпадают, то есть кривая является замкнутой кривой. В этом случае из двух возможных направлений обхода замкнутой кривой , положительным будем называть то направление, при котором область, лежащая внутри кривой , остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противоположное направление обхода будем называть отрицательным.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру , пробегаемому в положительном направлении, будем обозначать символом

Формула Грина

Пусть – произвольная замкнутая, ограниченная область на плоскости . Будем предполагать, что граница области гладкая или кусочно-гладкая кривая . Кроме этого предположим, что любая прямая, параллельная или , пересекает границу области не менее чем в двух точках. Такие области будет называть простыми.

Выберем на кривой , являющейся границей области , такое направление, что при обходе области по кривой область остается слева.

(рис. 3.1)

Такое направление будем называть положительным. Противоположное направление обхода кривой будем называть отрицательным.

Для обозначения криволинейного интеграла по замкнутой кривой , пробегаемой в положительном направлении, будем пользоваться символом

Теорема 5. 1.

Пусть функции , и их частичные производные и непрерывны в простой замкнутой области , ограниченной кусочно-гладкой кривой ,

(13)

Формула (13) называется формулой Грина. Эта формула устанавливает связь между криволинейным интегралом второго рода по замкнутой кривой и двойным интегралом по области – ограниченной кривой .

Доказательство: Предположим, что кривую можно задать как уравнениями , так и уравнениями .