Теорема Кронекера-Капелли устанавливает критерий совместности произвольной линейной системы, но не даёт способа решения этой системы. Приведём алгоритм отыскания всех решений системы (3).
(3)
Пусть система (3) совместна, и базисный минор расположен в левом верхнем углу матрицы (этого всегда можно добиться некоторой перестановкой уравнений и изменением нумерации неизвестных в системе). Тогда первые строк являются базисными как для основной, так и для расширенной матрицы, а каждая следующая строка, начиная с -ой, есть линейная комбинация первых строк. Переведём на язык систем: начиная с -ого, каждое уравнение системы (3) является следствием первых уравнений. Поэтому система (3) уравнений равносильна системе первых уравнений:
(6)
В левой части системы (6) оставлены основных неизвестных ; свободных неизвестных перенесены в правую часть. Если свободным неизвестным придать произвольные значения , то система (6) превращается в систему уравнений с неизвестными, причём её определитель . Единственное решение этой системы определяется формулами Крамера:
|
|
(7)
Здесь дописана вторая строка - значения свободных неизвестных . Выражение в фигурных скобках получено с учётом линейного свойства определителя. Соотношения (7) свидетельствуют, что существует чисел, которые при подстановке в систему (6) вместо неизвестных обращают все уравнения в тождества. Эта совокупность чисел является решением и равносильной системы (3).
Первая строка формул (7) определяет основных неизвестных через коэффициенты системы , правые части и произвольные величины . Вместе обе строки формул (7) дают общее решение системы (3).
Действительно, во-первых, при любом выборе свободных неизвестных по формулам Крамера однозначно определяются основные неизвестные , тогда совокупность чисел (, ) есть решение системы (3);
во-вторых, любое решение (, ) системы (3) содержится в формулах (7) при соответствующем выборе свободных неизвестных, а именно, при .
Решение (, ), полученное из общего решения (7) при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным решением системы (3).
Замечание. Если у совместной системы (3) ранг матрицы равен числу неизвестных, то и свободные неизвестные отсутствуют. Соотношения (7) перейдут в знакомые формулы , определяющие единственное решение системы. Значит, система (3) является определённой при условии и неопределённой, если .
Пример 6. Найти все решения линейной системы
(8)
|
|
Решение. Прежде всего, выясним, совместна ли эта система. Выпишем расширенную матрицу, отделяя чертой столбец из правых частей. При помощи элементарных преобразований приведём эту матрицу к ступенчатому виду (метод Гаусса). Обращаем внимание на то, что будем работать только со строками матрицы или - на языке систем - только с уравнениями, переходя всякий раз к равносильной системе.
~
~ система совместна.
Так как количество неизвестных , то имеется свободных неизвестных, т.е. система неопределена. Если в качестве базисного взять минор , то неизвестные - основные, а неизвестные - свободные.
Придадим свободным неизвестным произвольные значения и в соответствии с оставшимися двумя строками матрицы запишем крамеровскую систему, равносильную заданной системе (8):
. (9)
Единственное решение этой системы проще всего получить, вычитая второе уравнение из первого:
.
Дописывая к найденным основным неизвестным свободные, получим совокупность пяти чисел
, (10)
которая и представляет собой общее решение системы (9) - и равносильной системы (8). Полагая, например, , получим частное решение , полагая , получим другое частное решение .¨