Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.
Возрастание и убывание функций
Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции, вспомнив предварительно понятие возрастающей и убывающей функции.
Пусть функция определена на множестве D и пусть – подмножество D.
Определение. Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство: то функция называется возрастающей [неубывающей] на множестве .
Определение. Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство: то функция называется убывающей [невозрастающей] на множестве .
Теорема (необходимые условия).
Если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то для любого .
Теорема (достаточные условия). Если функция дифференцируема на интервале и для любых , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .
Пример. Исследовать функцию на возрастание и убывание.
|
|
Решение: функция определена на интервале .
.
– нули производной. Определим знак производной на каждом интервале.
при ; при .
Вывод: данная функция возрастает на интервалах ; убывает на интервале .