1. Линейность ДПФ. ДПФ суммы дискретных последовательностей длительности N равно сумме ДПФ слагаемых суммы и имеет длину N:
; (3.6)
. (3.7)
2. ДПФ сумм последовательностей разной длины. Если в исходной сумме последовательностей разные длины: N1, N2, N3, …, то перед вычислением ДПФ всей последовательности необходимо привести последовательности к одинаковой длине N, равной максимальной длине исходных последовательностей, за счет дополнения нулями.
3. Сдвиг ДПФ. Сдвиг ДПФ по оси k вправо на величину k0 соответствует умножению исходной последовательности на комплексную экспоненту:
. (3.8)
4. Сдвиг исходной последовательности. Сдвиг последовательности вправо на m отсчетов (задержка последовательности) соответствует умножению ДПФ на комплексную экспоненту:
. (3.9)
5. Теорема Парсеваля.
. (3.10)
|
|
Теорема Парсеваля утверждает, что энергию сигнала можно вычислить как во временной, так и в частотной области.
6. Свойство симметрии. Свойство симметрии вещественной последовательности:
, (3.11)
, (3.12)
; (3.13)
ось симметрии проходит через точку .
Для четного N:
, . (3.14)
Из последнего равенства следует, что и всегда действительные числа.
7. ДПФ вещественной последовательности. ДПФ вещественной последовательности полностью определено на интервале , который соответствует основному спектру сигнала.
Литература
Романюк Ю.А. Дискретное преобразование Фурье в цифровом спектральном анализе. Учебное пособие. – М.: МФТИ, 2007. – 120 с.
Лекция 4. Быстрое преобразование Фурье
Общие сведения о БПФ
Термином «быстрое преобразование Фурье» (БПФ: FFT) описывают алгоритмы вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ: DFT), обеспечивающие экономию в числе арифметических операций и в первую очередь операций умножения.
Для вычисления одного коэффициента ДПФ необходимо выполнить операций комплексного умножения и суммирования. Расчет всего ДПФ, содержащего спектральных коэффициентов, потребует пар операций «умножение – сложение».
Если не является простым числом и может быть разложено на множители (является целочисленной степенью 2: N= , - целое число), то процесс вычислений можно ускорить, разделив исходную последовательность на части, вычислив для них ДПФ и объединив результаты.
|
|
При реализации БПФ возможно несколько вариантов организации вычислений в зависимости от способа деления исходной последовательности на части: прореживание по времени или по частоте, и от того, на сколько фрагментов производится разбиение последовательности на каждом шаге (основание БПФ).?
Первый алгоритм БПФ с основанием 2, известный как алгоритм БПФ Кули-Тьюки был опубликован в 1965 г. в США учеными Кули и Тьюки.