Геометрия10_Приложение 1
Пирамида
Многогранник, одна грань которого является n -угольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой, n -угольник называется основанием пирамиды, а треугольники — боковыми гранями.
Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.
Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами пирамиды.
В зависимости от количества сторон основания, пирамиды могут быть треугольными, четырёхугольными, пятиугольными и т. д.
Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.
Важно знать, где на плоскости основания находится проекция вершины пирамиды, она может быть в центре основания, на стороне основания, за пределами многоугольника основания. Решение задачи в большей степени зависит от расположения этой точки.
Чтобы нарисовать пирамиду, нужно соблюдать определённый порядок:
1. первым рисуется основание,
|
|
2. по условию задачи находится проекция вершины на плоскости основания,
3. вертикально проводится высота,
4. проводятся рёбра.
На рисунке изображена четырёхугольная пирамида SABCD
(первой пишут букву вершины).
Основание — четырёхугольник ABCD.
Вершина проецируется в точку пересечения диагоналей O — основание высоты или проекция вершины.
SA, SB, SC, SD — рёбра пирамиды,
AB, BC, CD, DA — стороны основания.
В курсе средней школы в основном есть задачи, в которых даны:
- правильная пирамида (вершина проецируется в центр основания);
- пирамида, вершина которой проецируется в центр описанной окружности;
- пирамида, вершина которой проецируется в центр вписанной окружности;
- пирамида, высота которой совпадает с боковым ребром;
- пирамида, высота которой также является высотой боковой грани.
Углы пирамиды
Углы, которые образованы боковой гранью и основанием пирамиды, называются двугранными углами при основании пирамиды.
Запомни: двугранный угол образуется двумя перпендикулярами. На рисунке ∢OES.
Чтобы определить этот угол, часто нужно использовать теорему о трёх перпендикулярах.
Углы, которые образованы боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, называются углами между боковым ребром и плоскостью основания.
На рисунке ∢OCS.
Угол, который образован двумя боковыми гранями, называется двугранным углом при боковом ребре пирамиды.
Угол, который образован двумя боковыми рёбрами одной грани пирамиды, называется углом при вершине пирамиды.
На рисунке ∢DSC.
Формулы
|
|
Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней пирамиды:
Sбок. =S1+S2+S3+....+
Площадь полной поверхности
Sполн.=Sосн.+Sбок.
Задача
Правильная пирамида
Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина которой проецируется в центр основания, называется правильной пирамидой.
Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники.
Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.
Правильная треугольная пирамида, у которой все рёбра равны, называется тетраэдром.
Все грани тетраэдра — равные равносторонние треугольники.
В средней школе нужно уметь решать задачи, где дана:
- правильная треугольная пирамида;
- правильная четырёхугольная пирамида;
- правильная шестиугольная пирамида.