Основные уравнения в напряжениях

При решении задачи первого типа обычно выгодно за основные не­известные принять компоненты тензора напряжений, т. е. решать задачу в напряжениях. При этом для упрощения решения задачи ос­новные уравнения следует представить только через искомые функ­ции .

Система трех дифференциальных уравнений равновесия (6.3), содержащая шесть искомых функций  (x_k), имеет неоднозначное решение. Функции  (x_k), определяющие действительное напряжен­ное состояние тела, будучи статически возможными и связанные за­коном Гука (6.5) с функциями  (x_k), должны подчиняться, как и функции  (x_k), уравнениям, выражающим условия совмест­н о с т и. Очевидно, что эти уравнения можно получить из диффе­ренциальных зависимостей Сен-Венана (6.2) путем исключения функ­ций  с помощью формулы (6.5) закона Гука. Однако эти необходимые уравнения более просто находятся из уравнений Ламе (6.12).

Продифференцировав равенство (6.12) по координате x_j, получим

                                              (6.44)

Выполняя в равенстве (6.44) операцию свертывания по индексам i и j, приходим к равенству

которое, учитывая, что

принимает вид

                                                                        (6.45)

          

Используя необходимые соотношение  и зависимости

                                                                               (6.46)

из равенства (6.45) получим

                                                               (6.47)

В формуле (6.12), определяющей три дифференциальных уравне­ния Ламе (6.13), свободный индекс i можно заменить любой другой буквой, например j, т. е.

 

Дифференцируя последнее равенство по координате x_i, найдем

                                                 (6.48)

Сложив равенства (6.44) и (6.48), получим

               (6.49)

На основании (6.1) и (6.5) имеем

  (6.50)

Учитывая равенства (6.50), (6.46), уравнение (6.49) приведем к виду

 

Используя равенство (6.47), окончательно получим

 

                      (6.51)

Это равенство определяет шесть соотношений, которые образуют две группы дифференциальных зависимостей между компонентами тензора напряжений  (x_k). Одна из зависимостей первой группы имеет вид

          (6.52)

а первая зависимость второй группы представляется уравнением

                                 (6.53)

Остальные зависимости получаются путем круговой перестановки ин­дексов в уравнениях (6.52) и (6.53).                                                                                                                          §р

В наиболее часто встречающихся задачах, когда массовые силы  постоянны или, в частности, равны нулю, равенство (6.51) упрощается:

                                                                        (6.54)

и определяет установленные в 1892 г. Бельтрами следующие шесть
дифференциальных уравнений:

         (6.55)

Три уравнения типа (6.52) и три уравнения типа (6.53) были получены Дж. Мичеллом в 1900 г. Поэтому уравнения, определяемые равенством (6.51), называют уравнениями Бельтрами — Мичелла. Они представляют собой условия совместности, вы­раженные через компоненты тензора напряжений

Таким образом, при решения прямой задачи в напряжениях первоначально находятся шесть функций  (x_k), которые должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия (6. 3) уравнениям Бельтрами—Мичелла (6.51) или (6.54) и граничными условиями (4.6). Далее по полученным функциям  (х_к) находятся  (х_к) из алгебраических уравнений (6.5) закон Гука. Так как при нахождении функций  (х_к)   удовлетворялись условия совместности Бельтрами-Мичелла, то функции  (х_к)   будут удовлетворять дифференциальным зависимостям Сен-Венана, т. е находимым и
достаточным условиям интегрируемости уравнений (6.1). Тогда путем
интегрирования уравнений (6.1) определяются перемещения  (х_к).

Выполняя операцию свертывания по индексам i и j в равенстве
(6.54) и учитывая, что

,

найдем

                                                                                            (6.56)

т. е. первый, или линейный, инвариант тензора напряжений Σ=
представляет собой (при отсутствии массовых сил или когда они (по­стоянны) гармоническую функцию.

Применяя к равенству (6.54) оператор Лапласа и учитывая, что ли­нейный инвариант тензора напряжений — гармоническая функция,

 

получим

0                                                                                       (6.56)

компоненты тензора напряжений  являются бигармоническими функциями, когда массовые силы постоянны или, в частности, равны нулю.