Интегрирование путем подстановки (внесением под знак дифференциала)

№1. Найти величину давления на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус равен R, а верхний диаметр лежит на свободной поверхности жидкости (рис.1); удельный вес жидкости равен γ. [6]

Решение. Проведем горизонтальную полоску на глубине х. Сила давления жидкости на эту полоску равна

.

Таким образом,

.

Заметим, что 2 xdx=dx², отсюда

.

№2. Конец трубы, погруженной горизонтально в воду, может быть закрыт заслонкой. Определить давление, испытываемое этой заслонкой, если её диаметр равен 60 см, а центр находится на глубине 15 м под водой. [6]

Приложения интеграла в физике.

 

Рассмотрим несколько нетривиальных примеров применения интеграла в физике.

Нахождение силы.

№1. На прямой расположены материальная точка массы m и однородный стержень массы M и длины l. Точка удалена от концов стержня на расстояния c и c+l. Определить силу гравитационного притяжения между стержнем и точкой. [3]

Решение. Разобьем отрезок [ c; c+l ] на большое число отрезков. Если отрезки эти малы, то массу каждого из них можно считать точечной и силу гравитационного притяжения между таким отрезком и массой m вычислять по закону всемирного тяготения. Если длина отрезка равна Δ х, а расстояние его от начала координат равно х, то сила гравитационного притяжения равна

  Δ х.

Суммируя полученные для каждого отрезка значения силы гравитационного притяжения, мы получим представление искомой силы в виде суммы тем более точное, чем мельче отрезки, на которые мы разбивали отрезок [ c; c+l ]. В пределе получим

.

№2. С какой силой полукольцо радиуса r и массы М действует на материальную точку массы m, находящуюся в его центре? [3]

Нахождение кинетической энергии.

№3. Вычислить кинетическую энергию диска массы М и радиуса R, вращающегося с угловой скоростью ω около оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. [6]

Решение. Масса кругового кольца толщины dr, находящегося на расстоянии r от центра диска, равна 2πρrdr, где  - поверхностная плотность. Линейная скорость υ=ωr кольца. Следовательно, его кинетическая энергия будет:

.

Поэтому кинетическая энергия диска равна

.

№4. Стержень АВ вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси ОО' с угловой скоростью ω=10π рад/с. По­перечное сечение стержня S = 4 см², длина его l = 20 см, плотность материала, из которого он изготовлен, γ= 7,8 • 10³ кг/м³. Найти кинетическую энергию стержня. [3]

Решение. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг непод­вижной оси, равна , где ω – угловая скорость, а J – момент инерции относительно оси вращения.

Момент инерции стержня относительно оси равен Sγl²dl , отсюда кинетическую энергию стержня можно найти по формуле:

 (Дж).

№5. Треугольная пластинка, основание которой а = 40 см, а высота h = 30 см, вращается вокруг своего основания с по­стоянной угловой скоростью ω=5π рад/с. Найти кинетическую энергию пластинки, если толщина ее d = 0,2 см, а плотность материала, из которого она изготовлена, γ= 2,2 • 10³ кг/м³. [3]

Нахождение давления.

№6. Найти давление воды на плотину, если вода доходит до её верхнего края и если известно, что плотина имеет вид трапеции с высотой h, верхним основанием а и нижним основанием b.

Решение. Рассмотрим элементарный слой, находящийся на глубине х и имеющей высоту dx.

Легко доказать, что длина этого слоя равна

Поэтому его площадь dS равна

,

а давление dP на него равно

.

Всё давление на плотину выражается интегралом

.[4]

№7.. Вычислить силу давления воды на вертикальную плотину, имеющую форму трапеции, верхнее основание которой равно 70 м, нижнее 50 м, а высота 20 м. [4]

Нахождение работы.

№8. Найдите работу переменного тока, изменяющегося по формуле  за промежуток времени , если сопротивление цепи равно R. [4]

Решение. Как известно из физики, в случае постоянного тока мощность выражается формулой . Поэтому, учитывая, что имеем:

.

№9. Два точечных электрических заряда +10^-4 и -10^-4 Кл находятся на расстоянии 10 см друг от друга. Найдите работу, необходимую для того, чтобы развести их на расстояние 10 км. [2]

Решение. Сила взаимодействия F между зарядами равна  (a=kq₁q₂, где  Нм²/Кл²). Тогда работа этой силы, когда заряд q₁ неподвижен, а заряд q₂ передвигается по отрезку [0,1; 10000] м, равна

.

№10. Какую работу требуется выполнить, чтобы с помощью ракеты тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h? [4]

Решение. На тело массы m по закону всемирного тяготения действует сила , где M – масса Земли, а r – расстояние тела от центра Земли. Поэтому

.

На поверхности же Земли, т. е. при r=R имеем F=mg, т. е.  и . Отсюда .

№11.. Найти работу, выполняемую при переносе материальной точки, имеющей массу m, из A(a) в B(b), если притягивающая её по закону Ньютона точка имеет массу μ и находится в начале координат. [4]

Решение. По закону Ньютона сила тяготения равна , где γ – гравитационная постоянная, а r – расстояние между точками. Тогда получаем

.

№12. Из цистерны, имеющей форму прямого кругового конуса радиусом основания R и высотой H, выкачивают воду через вершину конуса. Найдите совершаемую при этом работу. Найдите числовое значение работы при R=3 м, H= 5 м, считая плотность воды ρ =1 г/см³.

Заключение

 

В заключение подведем некоторые итоги проделанной работы.

Были проанализированы различные учебники по теме, рассмотрены различные подходы к изложению исследуемого материала, вследствие чего выделены достоинства и недостатки каждого подхода, на основании этого и в силу необходимости полноценного изучения важнейших элементов интегрального исчисления в основной школе, а также в силу недостаточной разработанности методики преподавания этого материала с помощью использования физических моделей в школьном курсе математики, была разработана своя методика, также имеющая как свои недостатки, так и достоинства.

Среди недостатков выделим отсутствие универсальности у данной методики. Данное изложение материала на уроках возможно на сегодняшний день только в классах с углубленным изучением математики или физики, либо на факультативных занятиях.

Достоинствами данной методики являются

1) прикладная значимость материала (что в некоторых случаях облегчит работу и учителю физики);

2) эффективность обучения (за счет приведения практических примеров);

3) удовлетворение познавательных интересов учащихся.

Необходимо отметить, что основные цели и задачи, поставленные нами, были достигнуты. Тема «Интеграл», изучаемая с помощью разработанной методики, наиболее выпукло и ярко демонстрирует связь математики с физикой, позволяет полноценно и осознанно усвоить материал по теме.

В данной работе представлены как теоретический материал, так и практические упражнения. Физические модели и явления, рассматриваемые во второй главе, не выходят за рамки школьной программы по физике, а, следовательно, не требуют от учащихся дополнительных знаний по предмету, что удовлетворяет принципу доступности изложения материала, который в свою очередь сочетается с принципом достаточно высокого уровня трудности. Также в данной работе реализованы принципы наглядности (чертежи, графики к задачам), систематичности и последовательности в обучении.

Использование данной методики формирует такие специальные качества, как умение строить математические модели реальных процессов и явлений, исследовать и изучать их, а, следовательно, способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи учащихся.

У учителя при использовании данной методики есть возможность выбора пути изложения материала в соответствии с особенностями мышления и восприятия учащихся, а также в соответствии с их подготовкой по математике и физике. Например, учитель классов курса А может взять лишь некоторые факты данной методики, учитель же классов с углубленным изучением математики и физики может использовать всю методику целиком. В любом случае, данная работа может помочь каждому учителю в преподавании темы «Интеграл».

На мой взгляд, применение физических моделей при введении понятия интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники интегрирования и изучении приложений способствует осознанному качественному усвоению школьниками этого материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в физике, формированию мировоззрения учащихся.

Библиография

 

1. Алимов, Ш. А. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - М.: Просвещение, 1993. – 254 c.

2. Башмаков, М. И. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1992. – 351 с.

3. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа [Текст]: Уч. пособие. - СПб.: Изд-во «Профессия», 2001. – 432 с.

4. Виленкин, Н. Я., Куницкая, Е. С., Мордкович, А. Г. Математический анализ. Интегральное исчисление [Текст]: Уч. пособие для студентов-заочников II курса физико-математических факультетов педагогических институтов. - М.: Просвещение, 1979. – 175 с.

5. Задачи как средство обучения алгебре и началам анализа в X классе [Текст]: Уч. пособие// Сост. Е. С. Канин. – Киров: Редакционно-издательский совет Кировского ГПИ имени В. И. Ленина, 1985. – 92 c.

6. Задачник по курсу математического анализа [Текст]: Уч. пособие для студентов заочн. отделений физ.-мат. фак-тов пединститутов. Ч. I// Под ред. Н. Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1971. – 343 с.

7. Зельдович, Я. Б. Высшая математика для начинающих и её приложения к физике [Текст]: Уч. пособие для физико-математических средних школ и проведения факультативных занятий. – М.: Наука, 1970. – 560 с.

8. Колмогоров, А. Н. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др. – М.: Просвещение, 1998. – 365 c.

9. Модели и моделирование в методике обучения физике [Текст]: Материалы докладов республиканской научно-теоретической конференции. – Киров: Изд-во Вятского ГПУ, 2000. – 90 с. 

10. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. Ч. I. – М.: Мнемозина, 2003. – 375 с.

11. Никольский, С. М. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 11 класса общеобразоват. учреждений/ С. М. Никольский, М. К. Потапов. - М.: Просвещение, 2003.

Приложение

 

Опытное преподавание

Конспект факультативного занятия

Тема: Свойства интеграла.

Класс: 11 класс.

Триединая цель:

I. Образовательный аспект:

1) изучить свойства интеграла, продемонстрировать учащимся применение физических моделей при изучении свойств интеграла (межпредметную связь математики и физики);

2) научить применять свойства при вычисления интеграла, при решении задач математики и физики.

II. Развивающий аспект:

3) создать условия для развития практического, абстрактного и логического мышления учащихся.

III. Воспитательный аспект:

4) создать условия для осмысления ценности математических и физических знаний как средства познания мира.

Ожидаемый результат факультатива:

Репродуктивный уровень: знание свойств интегралов, умение применять их для вычисления интеграла.

Конструктивный уровень: умение применять свойства интеграла для решения простейших математических и физических задач.

Творческий уровень: умение применять свойства интеграла для решения нетривиальных текстовых задач с математическим и физическим содержанием.

Методы обучения, применяемые на факультативе:

· Объяснительно-иллюстративный

· Частично-поисковый

Формы организации познавательной деятельности учащихся:

· Фронтальная

· Индивидуальная

Формы контроля:

Контроль со стороны учителя

План:

I. Организация деятельности (1-2 мин.).

II. Актуализация знаний (2-3 мин.).

III. Изучение нового материала (25 мин.).

IV. Решение задач (10-12 мин.).

Литература: [2], [8].

Содержание.

Мотивация:Рассмотрим задачу.Скорость тела задается формулой v(t)=t³-2t²- 1 м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 10 с после начала движения.

Решение. Путь пройденный телом за первые 10 с после начала движения вычисляется по формуле

Как же вычислить интеграл от такой функции?

 Для этого рассмотрим вспомогательную задачу.

Пусть к материальной точке, движущейся по оси х, приложены две силы F₁(x) и F₂(x), направленные по одной прямой в одну сторону. Под действием этих сил материальная точка переместилась из точки а в точку b, при этом работа каждой силы на этом отрезке вычисляется по формулам:  и . Тогда общая работа, совершенная обеими силами равна

.         (1)

С другой стороны, если к телу приложены две силы F₁(x) и F₂(x), направленные по одной прямой в одну сторону, то их равнодействующая F(x) находится по формуле F(x)= F₁(x)+F₂(x). Работа этой силы равна

.        (2)

В силу равенства левых частей в формулах (1) и (2), получаем равенство правых, т. е.

.

Нетрудно показать, что данное свойство выполняется для любого конечного числа сил, действующих на точку и направленных по одной прямой в одну сторону. Это свойство показывает, что интеграл суммы нескольких слагаемых разбивается на сумму интегралов отдельных слагаемых.

Попробуйте самостоятельно доказать, что если к телу приложены две силы F₁(x) и F₂(x), направленные по одной прямой, но в противоположную сторону, то тогда верно следующее равенство

.

Тогда, возвращаясь к исходной задаче, можно сделать следующую запись 

.

Как видно из формулы под знаком интеграла остались постоянные множители.

Теперь проверим можно ли за знак интеграла вынести постоянный множитель.

Вспомним рассмотрение задачи о давлении жидкости на прямоугольную стенку бассейна с основанием а, в результате решения которой была получена формула

,           (3)

где а – величина постоянная, равная ширине стенки бассейна.

Разделим прямоугольную стенку бассейна на а прямоугольников с основанием, равным единице. Тогда весь бассейн также разделится на а равных частей, при чем давление на прямоугольную стенку с основанием, равным единице в каждой части будет вычисляться по формуле . Учитывая, что во всех частях давление одно и то же и всего частей а, то общее давление равно

.                 (4)

В силу равенства левых частей в формулах (3) и (4), получаем равенство правых, т. е.

.

Данное равенство можно обобщить на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [ a; b ], т. е.

.

Данное свойство показывает, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Тогда применяя это свойство к решению исходной задачи, получаем

.

Выведенные формулы называются свойствами линейности интеграла.

Но интеграл обладает и другими свойствами, которые необходимо знать для решения задач. Одно из таких свойств выглядит следующим образом

.

Рассмотрим доказательство данного свойства на задаче о перемещении точки [с.18].

При введении интеграла рассматривается случай, когда нижний предел интегрирования меньше верхнего. Но определенный интеграл можно обобщить и на случай, когда верхний предел меньше нижнего. В этом случае обратимся к определению интеграла как суммы. Разбивая отрезок от [ a; b ] промежуточными значениями t₁, t₂, …,t_n-1, убедимся, что все Δ t теперь отрицательны. Легко убедиться, что

,     (5)

так как при любом разбиении отрезка [ a; b ] соответствующие суммы будут отличаться знаками всех Δ t во всех слагаемых.

Следующее свойство называется свойством аддитивности интеграла

.

Докажем свойство на примере задачи о перемещении точки [с.18].

Существенное свойство интеграла состоит в том, что область интегрирования можно разбить на части: путь, пройденный за время от а (начала) до b (конца), можно представить

 

как сумму пути, пройденного за время от a до c (промежуточного момента) и от c до b

.      (6)

При помощи соотношения (5) можно распространить формулу (6) и на случай, когда с не лежит внутри промежутка [ a; b ].

Пусть c>b>a. Тогда очевидно

.

Перенесем последнее слагаемое в левую часть и воспользуемся (5)

.   (7)

Таким образом, получили равенство (7), в точности совпадающее с (6).

Аналогично можно рассмотреть случаи другого расположения чисел a, c, b (их всего шесть вариантов), которые нужно самостоятельно разобрать и убедиться, что формула (6) оказывается верной во всех этих случаях, т. е. независимо от взаимного расположения чисел a, c, b.

Ещё одно свойство интеграла звучит так:

если  на отрезке [ a; b ], то .

Вспомним формулу для вычисления массы стержня по известной плотности.

.

Как известно, плотность вещества – это физическая величина, показывающая, чему равна масса вещества в единице объема, следовательно, это величина неотрицательная. С другой стороны масса вещества есть также величина неотрицательная. Таким образом, получаем: если подынтегральная функция неотрицательна на рассматриваемом отрезке, то

.

Далее учащимся для самостоятельного решения предлагаются следующие задачи:

1) на вычисление интеграла ([2] стр.264 №11 8)-9), 15)-16), 23));

2) с физическим содержанием ([8] стр.193 №373, 374, 376; [2] стр.269 №3)

Замечание. Данная методика изучения свойств интеграла возможна при условии, что учащиеся знают все используемые при доказательствах формулы. Этого можно добиться, вводя понятие интеграла следующим образом. Методом дифференциалов, а конкретно на задаче о перемещении точки вводится понятие интеграла, затем этим же методом выводится формула для вычисления массы стержня по известной плотности. Далее поясняется, что интегралы можно приближенно вычислять с помощью составления интегральных сумм, и именно с этим методом исторически связано появление понятия интеграл. Этот метод рассматривается на задаче о давлении жидкости на стенку и на задаче о работе силы.

Анализ. Данные свойства интеграла, как известно, можно вывести и другим способом (например, с помощью формулы Ньютона-Лейбница и с использованием свойств площади криволинейной трапеции). Но используемые в доказательствах физические модели, во-первых, наглядны, а, следовательно, легче воспримутся учащимися, позволят лучше запомнить свойства и оставят в памяти учащихся наглядное представление о каждом из свойств. Во-вторых, при соответствующей методике введения понятия интеграла, данная методика введения свойств заставляет постоянно повторять пройденное, вспоминать выведенные при введении формулы (а, следовательно, и сами формулы лучше отложатся в памяти учащихся). Все это удовлетворяет принципу прочности знаний и наглядности в обучении. Учитывая, что понятие интеграла вводилось через физические модели, а свойства вводятся аналогично, то при данной методике выполняется и принцип последовательности и систематичности в обучении, и принцип доступности. Выше описаны ценные стороны факультатива, но есть и недостаток – данная методика подходит не для всех учащихся. Например, в гуманитарных классах она не применима, данным классам достаточно иметь общее представление об интеграле.