2020-04-20
260
На рис.5 приведена заданная расчетная схема фермы. На этом примере требуется определить усилия в стержнях фермы методом конечных элементов.
Рис.5. Заданная расчетная схема фермы
1. Разработка схемы дискретизации.
Разработка схемы дискретизации включает в себя следующие действия:
1.1. Обозначение ГСК (глобальной системы координат) XYZ. Начало координат находится в самой нижней и самой левой точке фермы. Это делается для того, чтобы в дальнейшем все координаты узлов фермы были положительными. Ось X направлена вправо, Y - вверх, Z - смотрит на нас.
1.2. Нумерация узлов фермы. Обычно слева направо, снизу вверх. В рассматриваемом примере, двигаясь слева направо, нумеруем узел 1. Затем двигаемся далее направо, сначала нумеруя нижний узел 2, затем верхний 3 (когда узлы фермы расположены на одной линии по вертикали). В фермах с большим количеством узлов надо стремиться к тому, чтобы разность между номерами узлов одного конечного элемента была минимальной.
1.3. Нумерация конечных элементов соответствует нумерации узлов фермы. Первым нумеруют конечный элемент, который берет свое начало в точке 1. При этом конечный номер этого элемента минимальный. То есть, первый элемент 1-2. Затем нумеруют конечный элемент, имеющий начало в точке 1, при этом конечная точка 3. Это второй элемент. Соответственно – третий элемент 2-3.
|
|
|
1.4. Обозначение локальной системы координат для каждого КЭ - xyz. Начало каждой из локальных систем координат находится в начальном узле рассматриваемого конечного элемента. Ось x направлена вдоль КЭ, y - против часовой стрелки под углом 90° к оси x, z - смотрит на нас (на рисунке не указаны).
1.5. Обозначение направляющих углов φ для каждого КЭ. Этот угол определяется от оси X глобальной системы координат против часовой стрелки до совмещения с осью x локальной системы координат каждого конечного элемента.
Рис.6. Схема дискретизации
2. Обработка узлов дискретизации в глобальной системе координат.
Таблица 1
Координаты узлов дискретизации
| № узла | 1 | 2 | 3 |
| х, а | 0 | 4 | 4 |
| у, а | 0 | 0 | 3 |
Определение вспомогательных величин проводят по формулам аналитической геометрии:
i - номер начального узла КЭ; j - номер конечного узла КЭ; 
;
; 
; 
.
;
; 
.
;
; 
.
;
; 
.
Вычисления заносят в таблицу 2.
Таблица 2
Обработка узлов дискретизации
| № КЭ | i | j | lk, a | cos jk | sin jk |
| 1 | 1 | 2 | 4 | 1 | 0 |
| 2 | 1 | 3 | 5 | 0,8 | 0,6 |
| 3 | 2 | 3 | 3 | 0 | 1 |
Матрицы преобразования для стержневого конечного элемента имеют вид:
.
Следовательно, для поставленной задачи, пользуясь данными таблицы 2, имеем:
; 
; 
.
3. Формирование матриц жесткости в глобальной системе координат.
|
|
|
В локальной системе координат матрица жесткости отдельного стержневого КЭ имеет вид:
,
где EF - жесткость конечного элемента на растяжение-сжатие (принимаем одинаковую для всех элементов), тогда для каждого КЭ, подставляя данные из таблицы 2, получим:
; 
; 
.
Матрицы жесткости из локальной системы координат преобразовываются в глобальную систему координат по формуле:
; 
.
Формирование матрицы жесткости для ансамбля конечных элементов в ГСК.
Обозначим номера перемещений узлов фермы в глобальной системе координат. Для этого в каждом узле фермы обозначим по две степени свободы - горизонтальную и вертикальную (указано синим на рисунке). Пока значения этих перемещений неизвестны, они принимаются положительными, то есть, направлены вдоль положительных полуосей ГСК.
Так как на ферму наложены внешние связи в точках 1 и 2, прикрепляющие ее к плоскости, то некоторые из этих перемещений отсутствуют. В точке 1 запрещены оба перемещения - горизонтальное и вертикальное, а в точке 2 - только вертикальное. Таким образом, получаем следующие перемещения фермы в ГСК: первое - горизонтальное в точке 2, второе - горизонтальное в точке 3 и третье - вертикальное в точке 3. Следует заметить, что в одной точке сначала нумеруется горизонтальное, а потом вертикальное перемещение.
Рис. 7 Нумерация перемещений в глобальной системе координат
Таблица 3
Матрица индексов ансамбля КЭ
| № КЭ |
| |||
| d1 | d2 | d3 | d4 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 0 | 2 | 3 |
| 3 | 1 | 0 | 2 | 3 |
Таблица индексов заполняется следующим образом:
Первая строка
- d1 – это горизонтальное перемещение начальной точки первого элемента, так как это перемещение отсутствует, то на этой позиции ставим 0;
- d2 – это вертикальное перемещение начальной точки первого элемента, так как это перемещение отсутствует, то на этой позиции ставим 0;
- d3 – это горизонтальное перемещение конечной точки первого элемента, так как это перемещение имеет номер 1, то на этой позиции ставим 1;
- d4 – это вертикальное перемещение конечной точки первого элемента, так как это перемещение отсутствует, то на этой позиции ставим 0;
Вторая строка
- d1 – это горизонтальное перемещение начальной точки второго элемента, так как это перемещение отсутствует, то на этой позиции ставим 0;
- d2 – это вертикальное перемещение начальной точки второго элемента, так как это перемещение отсутствует, то на этой позиции ставим 0;
- d3 – это горизонтальное перемещение конечной точки второго элемента, так как это перемещение имеет номер 2, то на этой позиции ставим 2;
- d4 – это вертикальное перемещение конечной точки второго элемента, так как это перемещение имеет номер 3, то на этой позиции ставим 3;
Третья строка
- d1 – это горизонтальное перемещение начальной точки третьего элемента, так как это перемещение имеет номер 1, то на этой позиции ставим 1;
- d2 – это вертикальное перемещение начальной точки третьего элемента, так как это перемещение отсутствует, то на этой позиции ставим 0;
- d3 – это горизонтальное перемещение конечной точки третьего элемента, так как это перемещение имеет номер 2, то на этой позиции ставим 2;
- d4 – это вертикальное перемещение конечной точки третьего элемента, так как это перемещение имеет номер 3, то на этой позиции ставим 3;
Формирование матрицы жесткости.
Матрица жесткости ансамбля КЭ имеет размер 3х3 (по числу независимых перемещений в матрице индексов):
.
Элементы матрицы вычисляются следующим образом:
1. В матрице 
для данной задачи получилось 9 элементов. Но с учетом равенства элементов, стоящих на побочных диагоналях 
, 
, 
, независимых элементов получается 6. Это элементы, стоящие на главной диагонали 
, 
, 
и элементы, стоящие на побочных диагоналях 
, 
, 
.
|
|
|
2. Элементы матрицы формируются в соответствии с таблицей 3. Найдем значение элемента . Для этого в таблице 3 (Матрице индексов) выделим позиции, где стоит цифра 1. Таких мест два: в первой и третьей строке, значит свой вклад в определение этого коэффициента дадут конечные элементы первый и третий. При этом, в первой строке единица стоит на позиции d3, а в третьей строке на позиции d1.
Таблица 3
Матрица индексов ансамбля КЭ
| № КЭ | d1 | d2 | d3 | d4 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 0 | 2 | 3 |
| 3 | 1 | 0 | 2 | 3 |
Поэтому элемент вычисляется следующим образом:
;
Верхний индекс Г говорит о том, что мы должны взять соответствующий элемент из матрицы жесткости для отдельного конечного элемента в глобальной системе координат (они вычислены выше).
Первый индекс у элемента 
говорит о том, что первая единица стоит в первой строке, то есть соответствует первому конечному элементу. Индексы после запятой соответствуют номеру перемещения d3, так как единица стоит в третьем столбце матрицы индексов. Первый индекс у элемента 
говорит о том, что еще одна единица стоит в третьей строке, то есть соответствует третьему конечному элементу. Индексы после запятой соответствуют номеру перемещения d1, так как единица стоит в первом столбце матрицы индексов. Поэтому получаем:
Далее каждый из этих элементов берется из соответствующей матрицы жесткости первого и третьего конечных элементов (индексы после запятой указывают соответственно номер строки и номер столбца в соответствующей матрице). Не забудьте учесть множитель, который выносится за знак матрицы!
; 
.
Таким образом, окончательно для элемента получаем
.
Аналогично вычисляются элементы, стоящие на главной диагонали
;
.
3. Найдем значение элемента , не принадлежащего главной диагонали. Для этого в таблице 3 (Матрице индексов) выделим позиции, где стоят цифры 2 и 3 в одной строке! Таких мест два: во второй и третьей строке, значит свой вклад в определение этого коэффициента дадут конечные элементы второй и третий. При этом, во второй строке двойка стоит на позиции d3, а тройка на позиции d4. В третьей строке двойка стоит на позиции d3, а тройка на позиции d4.
|
|
|
Таблица 3
Матрица индексов ансамбля КЭ
| № КЭ | d1 | d2 | d3 | d4 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 0 | 2 | 3 |
| 3 | 1 | 0 | 2 | 3 |
Поэтому элемент вычисляется следующим образом:
;
Первый индекс у элемента 
говорит о том, что первая пара цифр 2 и 3 стоит во второй строке, то есть соответствует второму конечному элементу. Индексы после запятой соответствуют тому факту, что цифра 2 соответствует перемещению d3, так как двойка стоит в третьем столбце матрицы индексов, а цифра 3 соответствует перемещению d4, так как тройка стоит в четвертом столбце матрицы индексов.
Первый индекс у элемента 
говорит о том, что вторая пара цифр 2 и 3 стоит в третьей строке, то есть соответствует третьему конечному элементу. Индексы после запятой соответствуют тому факту, что цифра 2 соответствует перемещению d3, так как двойка стоит в третьем столбце матрицы индексов, а цифра 3 соответствует перемещению d4, так как тройка стоит в четвертом столбце матрицы индексов.
;
Далее каждый из этих элементов берется из соответствующей матрицы жесткости второго и третьего конечных элементов (индексы после запятой указывают соответственно номер строки и номер столбца в соответствующей матрице). Не забудьте учесть множитель, который выносится за знак матрицы!
; 
.
Таким образом, окончательно для элемента получаем
.
Аналогично вычисляются остальные коэффициенты.
;
.
4. Разрешающие уравнения метода конечных элементов.
Для решения задачи методом конечных элементов с использованием стержневых конечных элементов разрешающая система уравнений имеет вид:
- вектор внешних нагрузок. Сила 
оказывается на второй позиции в матрице 
, так как ее направление совпадает с перемещением 
(см. рис).
Получаем систему линейных улгебраических уравнений метода конечных элементов
.
Решение СЛАУ
Переносим вектор внешних нагрузок в правую часть уравнения
и решаем систему линейных алгебраических уравнений. Для этого можно воспользоваться любым известным методом.
(можно вставить сюда, например, метод исключения неизвестных или другой)
В результате решения получаем следующие перемещения:
; 
; 
.
5. Формирование матрицы узловых перемещений КЭ в ЛСК.
Так как перемещения в ЛСК связаны с перемещениями в ГСК, то потребуются составляющие векторов узловых перемещений в ГСК для каждого КЭ. Используя решение системы уравнений МКЭ с учетом данных таблицы индексов (табл.3), можно записать:
(здесь можно еще дать разъяснение, что откуда брать и куда подставлять)
; 
; 
.
;
;
;
Вычисление усилий:
; 
;
.
Рис.8. Схема деформирования заданной расчетной схемы
6. Проверка равновесия узлов фермы
Определим опорные реакции фермы от заданной внешней нагрузки (см. рис. 5)
Рис.9. Опорные реакции заданной расчетной схемы
; 
;
; 
;
; 
.
Проверим равновесие узлов фермы методами строительной механики (см. рис. 10):
Рис.10. Равновесие узлов фермы
Узел 1.
; 
;
; 
.
Узел 2.
;
.
Узел 3.
; 
;
; 
.
Проверка выполняется.
ВЫВОД
Проверка полученных результатов показывает, что условия равновесия выполнены.
Характер перемещений узлов также соответствует представлению о поведении заданной расчётной схемы под действием внешней силы, направленной горизонтально.
