2020-04-20
317
Определение 5. Если два вектора умножить векторно, а полученный вектор умножить скалярно на третий вектор, получится число, которое называется смешанным произведением трех векторов. Обозначение:
или 
.
Алгебраические свойства смешанного произведения.
1°. 
− если поменять местами любые два вектора, то смешанное произведение меняет знак.
2°. 
− циклическая перестановка не меняет смешанное произведение.
Следствие. В смешанном произведении не важно, какие именно векторы умножаются векторно. Поэтому смешанное произведение часто записывают без всяких знаков: 
.
3°. 
− смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.
Пример.
Упростить выражение 
.
Решение.
Ответ: 0.
Смешанное произведение в декартовой системе координат.
Пусть три вектора заданы своими координатами в декартовом базисе:
. Найдем их смешанное произведение:
Последний результат можно трактовать, как разложение по третьей строке определителя
.
Теорема 3. Смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами в декартовом базисе, равно значению определителя, строки которого составлены из координат перемножаемых векторов.
Геометрические приложения смешанного произведения.
1°. Абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, приведенных к одному началу.
2°. Если 
> 0, то упорядоченная тройка 
− правая,
если < 0, то упорядоченная тройка 
− левая.
3°. Если 
, то векторы − компланарны. Это необходимое и достаточное условие компланарности (линейной зависимости) трех векторов.
Пример.
Может ли тройка векторов 
служить базисом в трехмерном пространстве?
Решение.
Проверим условие компланарности:
− векторы линейно независимы.
Ответ: да.
