2020-04-20
201
Определение 1. Фундаментальным называется такое решение НСЛУ, в котором одна из свободных переменных принимает значение 1, а остальные – 0.
В предыдущем примере две свободные переменные – следовательно, в этом примере два фундаментальных решения:
1-е фундаментальное решение получится при 
.
2-е фундаментальное решение получится при 
.
Решение однородных систем.
Определение 2. Однородной называется система линейных уравнений, все свободные члены которой равны нулю
. (**)
Главной особенностью таких систем является то, что системы (**) всегда совместны, т. к. при 
каждое уравнение системы обращается в тождество.
Определение 3. Решение однородной системы линейных уравнений
называется нулевым или тривиальным решением.
Теорема 2. (Теорема о существовании ненулевых решений ОСЛУ)
Однородная система (**) всегда совместна, т. к. всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевых решений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был строго меньше числа неизвестных
|
|
|
.
Примеры.
1). Решить ОСЛУ
Решение.
Найдем ранг матрицы системы. Для этого вычислим ее главный определитель (минор 2-го порядка)
.
По теореме 2 система имеет только тривиальное решение.
Ответ: 
.
2). Решить ОСЛУ
.
Решение.
Матрица системы имеет размер 2×3, следовательно, ранг матрицы 
, число неизвестных п =3. По теореме 2 система имеет ненулевые решения.
Запишем матрицу системы и элементарными преобразованиями только по строкам приведем ее к треугольному виду
ранг матрицы равен 2. Приведем базисный минор к единичному виду
переменные 
− базисные, 
− свободная.
Ответ: общее решение
.
