Частинні вираження рівняння

Рівняння (93) є найбільш повним і коротким виразом рівняння пластичності. Його можна записати в декількох різних за формою, але однакових за змістом варіантах:

в головних осях, звівши обидві частини в квадрат

(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)² = 2σ_т²,(98)

у довільній прямокутній системі координат

(σ_x – σ_y)² + (σ_y – σ_z)² + (σ_z – σ_x)²+ 6(τ_xy²+ τ_yz² + τ_zx²) = 2σ_т²,(99)

у довільній циліндричній системі координат

(σ_ρ – σ_θ)² + (σ_θ – σ_z)² + (σ_z – σ_ρ)²+ 6τ_zρ² = 2σ_т².(99, a)

При вирішенні плоских і осесиметричних задач вид рівнянь (93) спрощується. При плоскому напруженому стані σ_у = 0, вісь у - головна,

τ_xy = τ_yz = 0. Підставляючи ці значення в рівняння (99), отримуємо:

(σ_x – 0)² + (0 – σ_z)² + (σ_z – σ_x)²+ 6(0 + 0 + τ_zx²) = 2σ_т².

σ_x² + σ_z² + σ_z² – 2σ_zσ_x+ σ_x² + 6τ_zx² = 2σ_т².

σ_x² + σ_z² – 2σ_zσ_x+ 3τ_zx² = 2σ_т².(100)

В головних осях

σ₁² + σ₃² – 2σ₃σ₁ = 2σ_т². (101)

Для плоского деформованого стану маємо σ_y = (σ_x + σ_z) / 2, τ_xy = τ_yz = 0. Підставляючи ці значення в (99), маємо

[σ_x – (σ_x + σ_z)/2]² + [(σ_x + σ_z)/2 – σ_z]² + (σ_z – σ_x)²+ 6τ_zx² = 2σ_т²

Підставляючі ці значення в (99), Маємо

(σ_x - σ_z)² + 4τ_zx² = (4/3)σ_т².

Позничимо σ_т/ = k, где k – опір пластичному зсуву (чи просто опір зсуву). Тоді (σ_x - σ_z)² + 4τ_zx² = 4k².(102)

в головних осях

(σ₁ – σ₃)²= 4k²,

σ₁ – σ₃= 2k. (103)

Так як τ_max = (σ₁ – σ₃)/2, то

τ_max = k. (104)

Максимальне значення дотичного напруження не може перевищувати значення k, яке воно досягає при пластичному плині. Умова (104) є частинний вид рівняння пластичності. Як і σ_т, k - величина, постійна для даного сплаву і умов деформації. Розмірність k така ж, як у σ_т– МПа (Н/ мм², кг/мм²).

У циліндричній системі координат для осесиметричної задачі рівняння (99, а) зберігає свій вигляд

(σ_ρ – σ_θ)² + (σ_θ – σ_z)² + (σ_z – σ_ρ)²+ 6τ_zρ² = 2σ_т². (105)