Суворе розвязання рівнянь (154), (155), (156) вельми складне. На практиці використовують пробліженние методи рішення варіаційних задач. Так звані прямі методи зводять варіаційні рівняння до замкнутих систем алгебраїчних рівнянь. Одним з прямих методів є метод Рітца.
Шукану функцію зсувів представляють у вигляді ряду, наприклад
ux = a1φ1(x, y, z) + a2φ2(x, y, z) + … (157)
де φ1(x, y, z), φ2(x, y, z) і т.д. – довільно вибрані («координатні» за Рітцем) функції, що відповідають умовам задачи, коефіцієнти а1, а2, і т.д. - Чисельні коефіцієнти (варійовані параметри), що визначаються з рішення. Для полегшення вирішення запропоновано в якості координатних вибирати «підходящі» функції, відносно легко диференціюються і інтегруються, що містять не більше 1... 2 доданків і хоча б приблизно відповідні фактичним зсувам. Після вибору відповідних функцій визначають їх перші похідні за координатами (тобто компоненти деформації) і висловлюють повну енергію деформації у функції варійованих параметрів а1, а2,... Необхідно знайти такі значення параметрів, які звернуть функцію (157) в екстремали.
|
|
Рішення зводиться до диференціювання повної енергії по черзі за параметрами а1, а2 і т.д., прирівнювання нулю отриманих часткових похідних і визначенню варійованих параметрів а1, а2... з отриманої системи рівнянь
∂/∂а1[ (Xux + Yuy + Zuz)dF - σт εidV] = 0,
∂/∂а2[ (Xux + Yuy + Zuz)dF - σт εidV] = 0 и т.д.
Система містить стільки рівнянь, скільки варійованих параметрів входить в рівняння (154) або (155). Після інтегрування і диференціювання знаходять варійовані параметри. Підставивши їх у рівняння (157), знаходять залежність зміщень від координат. Це дозволяє розрахувати форму тіла після деформації. Взявши перші похідні зсувів, знайдемо поле деформацій. Надалі можна визначити і напружений стан тіла, використовуючи узагальнений закон Гука.