Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная кривая. Замена параметра

 

Пусть E - обычное геометрическое пространство или плоскость. Тогда E является точечным евклидовым пространством. Мы будем вести речь про пространство, но всё сказанное ниже с незначительными изменениями верно и для случая, когда E - плоскость. Пусть в пространстве задана декартова СК Oxyz. Мы будем отождествлять произвольную точку M и её радиус-вектор.

Определение. Путем (или параметризованной кривой) называется непрерывное отображение c: I -® E, где I - некоторый интервал числовой прямой.

Таким образом, путь сопоставляет каждому значению t Î I точку в пространстве. В силу нашей договоренности об отождествлении, можно сказать, что путь сопоставляет каждому значению t Î I вектор. Поэтому путь - это непрерывная вектор-функция. Подчеркнем, что путь - это отображение (в отличие от кривой).

Определение. Пусть c: I -® E - путь. Тогда его траектория - множество g= c (I) в пространстве называется кривой. Вектор-функция c (t)=x(t) i + y(t) j + z(t) k называется параметризацией кривой g^. Запись

 

x = x(t),

y = y(t),

z = z(t), t Î I,

называется параметрическими уравнениями кривой g. Если использовать обозначение - это вектор с переменными координатами (x, y, z), то параметрические уравнения можно записать в виде одного векторного равенства = c (t). Также можно сказать, что кривая g - это годограф вектор-функции c (t).

Замечание. При таком определении кривая может выглядеть совсем непохоже на интуитивное представление о кривой. Например, кривая Пеано проходит через каждую точку квадрата, и поэтому она имеет ненулевую площадь. Такой пример рассматривается в рамках спецкурса по топологии. Это говорит о том, что понятие кривой, на самом деле, не такое простое.

Определение. Простой дугой (или элементарной кривой) называется множество g в пространстве или на плоскости, гомеоморфное открытому интервалу числовой прямой.

Простыми дугами не являются кривые с самопересечениями (например, «восьмёрка») и даже окружность.

Определение. Путь c называется простым, если c - взаимнооднозначное отображение.

Простой путь задает кривую без самопересечений: при движении по кривой мы проходим каждую точку ровно один раз. Но образ интервала при таком отображении не всегда является простой дугой.

Определение. Кривая g называется регулярной, если у нее существует регулярная параметризация. Кривая называется гладкой класса Cⁿ, если у нее существует регулярная класса Cⁿ параметризация.

Вы привыкли, что если функция дифференцируема, то ее график не имеет изломов. Но кривая, определяемая вектор-функцией не является её графиком.

Пример 1. Путь c (t) = (t², t³), t Î R определяет на плоскости кривую, которая называется полукубической параболой. Этот путь дифференцируемый класса C^¥(R).

Имеем c ¢(t) = (2t, 3t²) и c ¢(0) = , т.е. данный путь не является регулярным. Причем, регулярность нарушается как раз в той точке, где кривая имеет излом.

Из теоремы 1 (следующий параграф) следует, что гладкая класса C¹ регулярная кривая не имеет изломов. Полукубическая парабола - это пример простой дуги.

Пример 2. Путь c (t) = (a cos t, a sin t⁾, tÎ R определяет на плоскости окружность радиуса a с центром в начале координат. Этот путь не является простым: в процессе изменения параметра мы «проходим» через каждую точку окружности бесконечное количество раз.

Пример 3. Одна и та же кривая может задаваться разными параметрическими уравнениями. Например, верхняя половина полукубической параболы может быть задана следующими уравнениями.

 

x = t², x = e^2t,

y = t³, t Î (0, + ¥) y = e^3t, t Î R

 

Ясно, что вторая система получается из первой с помощью замены t = e^t, t Î R^. Обозначим j(t) = e^t; тогда j - это отображение j: R -® (0, + ¥). Так возникает понятие «замена параметра».

Определение. Пусть c:I -® E - путь, задающий кривую g, а I₁ Î R - другой интервал числовой прямой. Пусть j: I₁ -® I - непрерывное отображение, t=j(u). Рассмотрим композицию отображений d = c °j: I₁-® P, d (u)= c (j(u)). Это

будет другой путь, но его образ d (I₁) - та же самая кривая g. Говорят, что отображение j осуществляет замену параметра кривой.

Определение. Замена параметра t=j(u) называется допустимой, если j - функция касса Cⁿ(I₁) и j¢(u) ¹ 0 " uÎ I₁.

Пусть c - регулярный путь. Тогда

d ¢(u)= c (j(u))¢ = j¢(u) c ¢(t).

 

Мы видим, что путь d (u) является регулярным тогда и только тогда, когда замена параметра является допустимой. Другими словами, допустимая замена параметра сохраняет регулярность пути.

Определение. Регулярные пути c: I -® E и d: I₁-® E называются эквивалентными, если существует такая допустимая замена параметра j: I₁ -® I, t = j(u), что d = c °j. Иногда говорят, что регулярная кривая - это класс эквивалентных друг другу регулярных путей.

Можно сказать, что эквивалентные пути имеют одинаковую траекторию, но проходят ее за различные промежутки времени и с разной скоростью.

Например, замена параметра t = e^t, является допустимой, и поэтому пути c (t) = (t², t³), t Î (0, + ¥) и d (t) = (e^2t, e^3t), tÎR являются эквивалентными.

Упражнения. 1. Является ли регулярным путь (a cos³t, a sin³t), tÎ R?

2. Является ли допустимой замена параметра t =, uÎ R? В какой интервал она переводит числовую прямую?