Действия над матрицами

Матрицы допускают следующие алгебраические операции: сложение, вычитание и умножение матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матриц, возведение в степень.

Сложение матриц

Суммой двух матриц A и B одинаковой размерности или одного порядка называется матрица C, элементы которой являются суммами соответствующих элементов матрицы А и В. т.е.

или

Примеры. Найти сумму матриц:

.
- сумму найти нельзя, т.к. размеры матриц различны.
.

Умножение матриц.

Пусть дана матрица А=(m × n) и матрица B=(m × p). Тогда произведением матрицы А на матрицу В называется новая матрица С размерности (m × p) элементы которой получаются следующим образом:

Таким образом, например, чтобы получить произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c₁₃, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a_ij) размера m × n на матрицу B = (b_ij) размера n × p, то получим матрицу C размера m × p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате произведения элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Примеры.