Действия с комплексными числами в алгебраической форме
Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.
Сложение комплексных чисел
Пример 1
Сложить два комплексных числа Z1=2+5i Z2=4-3i
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части: Z=6+2i
Пример 2
Самостоятельно: Z1=-4+10i Z2=5+3i Ответ: Z=1+13i
Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.
– от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Вычитание комплексных чисел
Пример 3
Найти разности комплексных чисел и, если, Z1=10-25i Z2=1-3i
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
Z=10-25i -(1-3i)=9-22i
Пример 4
Самостоятельно: Z1=-5+10i Z2=1+3i Ответ: Z=-6+7i
Умножение комплексных чисел
Правило умножения. Комплексные числа перемножаются как двучлены, при этом учитывается, что .
Пример 5
Найти произведение комплексных чисел Z1=1-i Z2=3+6i Ответ: Z=9+3i
Z1∙Z2= Z2∙Z1 – от перестановки множителей произведение не меняется.
Пример 6
Самостоятельно: Z1=5-2i Z2=1-4i Ответ: Z=-3-22i
Пример 7
Самостоятельно: (2+ 8i)(2 – 8i)= 2 2 + 82
Вывод: (a+ bi)(a – bi) = a 2 + b 2. Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.
Деление комплексных чисел
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.
Пример 8 Найти =
(Умножаем числитель и знаменатель на (4 -i))
Пример 9 Найти
Пример 10 Вычислить: -(2+7i)(1-i)=-8-7i
Пример 11 Вычислить: =-1
Самостоятельная работа
Вариант 1.
1. Даны два комплексных числа Z1= (10 + 2i) и Z2=(1 – 6i). Найдите их сумму, разность, произведение и частное.
2. Проверьте правильность следующих утверждений:
а) Сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число.
Для проверки возьмите числа: Z1=2i, Z2=-3i
б) Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.
Для проверки возьмите числа: Z1=-5i, Z2=3i
в) Квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу.
Для проверки возьмите числа: Z1=10i
г) Произведение чисто мнимого числа на действительное равно чисто мнимому числу.
Для проверки возьмите числа: Z1=7i, Z2=3
Дополнительное задание: Найдите два комплексных числа, сумма и произведение которых равны 2.
Вариант 2.
Даны два комплексных числа z1= (12 + 2i) и z2=(3 – 4i). Найдите их сумму, разность, произведение и частное.
2. Проверьте правильность следующих утверждений:
а) Сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число.
Для проверки возьмите числа: Z1=2i, Z2=-3i
б) Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.
Для проверки возьмите числа: Z1=-5i, Z2=3i
в) Квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу.
Для проверки возьмите числа: Z1=10i
г) Произведение чисто мнимого числа на действительное равно чисто мнимому числу.
Для проверки возьмите числа: Z1=7i, Z2=3
Дополнительное задание: Найдите два комплексных числа, сумма и произведение которых равны 2.
а) Сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число.
Z1=2i, Z2=-3i, Z1+Z2=-i, Z1-Z2=5i
б) Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.
Z1=-5i, Z2=3i, Z1 ∙Z2=15
в) Квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу.
Z=10i, Z2=-100
г) Произведение чисто мнимого числа на действительное равно чисто мнимому числу.
Z1=7i, Z2=3, Z1 ∙Z2=21i
Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел
ax2 + bx + c = 0
1 cлучай: D>0, 2 корня, х1,2=
2 случай D=0, 1 коре нь, х=
3 cлучай: D<0, 2 корня, х1,2=
1. Решите уравнение x2 – 4x + 5 = 0.
Решение. D = – 4 < 0, уравнение имеет мнимые корни: 2+i, 2-i
2. Решите уравнение x2 – x + 10 = 0.
Решение. D = – 39 < 0, , уравнение имеет мнимые корни:
3. Решите уравнение x2 – 4x + 13 = 0.
Решение. D = – 36 < 0, уравнение имеет мнимые корни: 2+3i, 2-3i
1. Решите уравнение x2 – 2x + 15 = 0.
Решение. D = – 56 < 0, , уравнение имеет мнимые корни:
Домашнее задание:
На «3»:
1. Даны два комплексных числа z1= (4 + 2 i) и z2=(1 – 3 i). Найти их сумму, разность, произведение и частное.
На «4»:
1.Даны два комплексных числа z1= (5 + 2 i) и z2=(2 – 5 i). Найти их сумму, разность, произведение и частное.
2.Вычислить: Ответ:a) 2 + i
На «5»:
Решить уравнения:
1. х 2 + (5 – 2i) x + 5(1– i) = 0;
2. х 2 + (1 – 2 i) х – 2 i = 0;