Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:
Отсюда получается
z = a + bi = r (cos φ + i sin φ). |
Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.
Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть z 1 = r 1(cos φ1 + i sin φ1) и z 2 = r 2(cos φ2 + i sin φ2). Имеем:
Видно, что в тригонометрической форме операции умножения и деления производятся особенно просто: для того, чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) их аргументы.
Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ1, φ2,..., φ n – аргументы чисел z 1, z 2,..., zn, то
|
|
В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.
Первая формула Муавра:
|
Число z называется корнем степени из комплексного числа w, если Корень степени обозначается Пусть теперь число w фиксировано. Найдём z из уравнения
Если w = 0, то у уравнения существует единственное решение z = 0.
Если w ≠ 0, то положим, что нам известно тригонометрическое представление числа w = r 0(cos φ0 + i sin φ0), и будем искать число z также в тригонометрической форме: z = r (cos φ + i sin φ). Из определения аргумента и геометрической интерпретации комплексных чисел следует, что два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на угол, кратный 2π. Имеем:
откуда получается:
Итак, все решения уравнения задаются формулой
Заметим, что если в эту формулу подставлять натуральные числа k, то при k = 0, 1,..., n мы будем получать разные комплексные числа, а при k = n имеем:
Значит, и в дальнейшем значения корней будут повторяться. Следовательно, существует ровно n корней уравнения и все они задаются одной формулой.
Вторая формула Муавра:
|