Лекция № 32.
Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D < 0 (здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики
и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.
Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i 2 = –1.Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.
Основные договорённости:
1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a+ 0 i или a – 0 i. Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5.
2. Комплексное число 0 + bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и 0 + bi.
|
|
3. Два комплексных числа a+ bi и c+ di считаются равными, если a= c и b= d. В противном случае комплексные числа не равны.
Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число (a+ c) + (b+ d) i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.
Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.
Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число (a – c) + (b – d) i.
Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.
Примеры: 1)(1 + i) + (2 – 3 i) = 1 + i + 2 –3 i = 3 – 2 i;
2)(1 + 2 i) – (2 – 5 i) = 1 + 2 i – 2 + 5 i = –1 + 7 i.
Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:
(ac – bd) + (ad + bc) i. Это определение вытекает из двух требований:
1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,
2) число i обладает основным свойством: i 2 = – 1.
Примеры:
1)(1 + i)∙(2 – 3 i) = 2 – 3 i + 2 i – 3 i 2 = 2 – 3 i + 2 i + 3 = 5 – i;
2)(1 + 4 i)∙(1 – 4 i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;
3)(2 + i)2 = 22 + 4 i + i 2 = 3 + 4 i.
П р и м е р. (a+ bi)(a – bi) = a 2 + b 2. Следовательно, произведение
двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.
Деление. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi.
Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.
Пример. Найти (8 + i): (2 – 3 i).
Решение. Перепишем это отношение в виде дроби:
Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3 i и выполнив все преобразования, получим:
|
|