Различные формы записи комплексного числа. Теоремы о модуле и аргументе произведения и частного

Первая форма записи:   упорядоченная пара комплексных чисел(по определению).

Вторая форма записи - алгебраическая: .

Третья форма записи – тригонометрическая. Если первая и вторая формы записи комплексного числа дают представление комплексных чисел в декартовых координатах, то для получения тригонометрической формы записи введем полярную систему координат следующим образом:

полярную ось совместим с положительной полуосью Ox, а полюс - с началом декартовой системы координат. Тогда полярные координаты   и   точки  определяют соответственно модуль и аргумент комплексного числа  

                                                                                                                               (1)            

При этом действительная и мнимая части комплексного числа     связаны с модулем и аргументом известными формулами

                                                                         (2)

Поэтому, каждое комплексное число ,  можно записать в виде

                                                                                                               (3)

который и называется тригонометрической формой записи  комплексного числа  

Отметим, что, как это следует из формулы (3), два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное 2  

Для получения четвертой  формы записи комплексного числа мы воспользуемся формулой Эйлера

                                                                                                                                 (4)

Тогда из формулы (3) получаем  показательную форму записи комплексного числа                              

                                                                                                                                      (5)

Итак, чтобы записать комплексное число  в тригонометрической или в показательной форме, необходимо найти модуль (формула (1),главное значение аргумента (формула (3.3)), аргумент (формула (3.2)) этого числа и воспользоваться формулами (3) или (5).

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа  находят широкое применение, например, в электро- и радиотехнике, электродинамике.

При проведении конкретных расчетов с комплексными числами важную роль играют теоремы о модуле и аргументе произведения и частного  двух комплексных чисел.

  Вычислим произведение двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме:  Отсюда следует, что при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (это утверждение и называется теоремой о модуле и аргументе произведения комплексных чисел):

                                                                                        (6)

Далее мы воспользуемся тем, что по определению частного  

                                                                                                                                                 (7)

Применяя к формуле(7) теорему о модуле и аргументе произведения двух комплексных чисел, получаем

                                                                                    (8)

                                 

Формулы (8) выражают содержание теоремы о модуле и аргументе частного двух комплексных чисел: модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей; аргумент частного двух комплексных чисел равен разности аргументов числителя и знаменателя (делимого и делителя).

В частности, деление комплексных чисел в показательной или тригонометрической форме выполняется по формуле

                                                                            

                           (9)

Замечание.  Модуль разности двух комплексных чисел определяет расстояние между соответствующими точками на комплексной плоскости. На основе этого  факта, и известных из планиметрии соотношений между сторонами треугольника,  устанавливаются неравенства треугольника

                                                                                                                                   (10)

       

 5. Возведение комплексного числа в натуральную степень и излечение корня.                                                              

Сначала рассмотрим операцию возведения комплексного числа в натуральную степень.

Теорема о модуле и аргументе произведения обобщается и на случай произведения конечного числа комплексных сомножителей. Поэтому, полагая все   сомножители равными комплексному числу ,  получаем:

                                             (1)

 

Таким образом, при возведении комплексного числа в натуральную степень модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на эту степень.

При   из (1) следует формула Муавра

                                                                                       (2)

                     

Приступая к рассмотрению операции извлечению корня, сначала приведем соответствующее определение.

Определение: Комплексное число  называется корнем натуральной степени  из комплексного числа   если   

 Итак, решения уравнения   называются корнями степени  из числа  и обозначаются символом  

Из этого определения с учетом формулы возведения комплексного числа  в натуральную степень  находим

                                                                          ,                                        (3)

   Таким образом,

                                                                                                            (4)

Как было отмечено выше, аргумент комплексного числа   определен  не однозначно, а  с точностью до слагаемого, кратного  

Поэтому, полагая  получаем, что существует  ровно  различных значений корня й степени из комплексного числа  которые определяются формулой

                  (5)

где через  обозначено арифметическое значение корня й из действительного числа  

Модули этих комплексных чисел одинаковы, а аргументы различаются на число, кратное  Заметим также, что начиная с номера   новые значения корня в формуле (5) не возникают. Точки на комплексной плоскости, соответствующие различным значением корня степени  из комплексного числа ,  расположены в вершинах правильного  угольника, вписанного в окружность радиуса  с центром в точке  

Следует отдельно отметить, что квадратный корень из комплексного числа  имеет два различных значения, которые отличаются общим знаком и на комплексной плоскости располагаются симметрично относительно нулевой точки