2020-05-12
292
При решении задач на вычисление наименьших и наибольших значений величин надо, прежде всего, определить, для какой величины в задаче требуется найти наименьшее или наибольшее значение. Эта величина и будет исследуемой функцией. Затем одну из величин, от изменения которых зависит применение функции, следует взять за независимую переменную и выразить через неё функцию. При этом нужно в качестве независимой переменной выбрать ту величину, через которую исследуемая функция выражается проще всего. После этого решается задача на нахождение наименьшего и наибольшего значения полученной функции в некотором промежутке изменения независимой переменной, которое обычно устанавливается из самого существа задачи.
Пример 1. Из шара радиуса R выточить цилиндр наибольшего объема. Каковы его размеры?
Решение: 
обозначим через х и у высоту и диаметр основания цилиндра. Тогда, как видно из рисунка, 
.
Следовательно, объем цилиндра равен:
, где 
.
Таким образом, объём V цилиндра, вписанного в шар радиуса R, есть функция от высоты этого цилиндра х. Найти высоту, при которой вписанный цилиндр имеет наибольшой объём, это значит найти такое х, при котором функция V имеет наибольшее значение при 
. Найдем его.
Так как 
, то 
только при 
.
Кроме того, 
. Поэтому 
– точка максимума.
Так как функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметь наибольший объем (равный 
) при 
; диаметр основания цилиндра равен 
.
Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную 
, и диаметр, равный 
.
Пример 2. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36 м2, чтобы периметр ее был наименьший?
Решение: пусть длина равна х метров, тогда ширина прямоугольника 
метров, а периметр 
.
Периметр р есть функция длины х, определенная для всех положительных значений х.
Найдем наименьшее значение этой функции.
.
при 
.
Найдем 
. Так как 
, следовательно 
– точка минимума.
Таким образом, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина его 6 ми ширина 
м = 6 м,т. е. когда он квадрат.
