Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

Лекция по «Высшей математике» 7 апреля 2020 года

(Записать в тетрадь конспект лекции)

Продолжение § 10.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Пусть функция непрерывна на отрезке . Такая функция достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений (теорема Вейерштрасса).

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке :

1) найти критические точки функции на интервале , т. е. точки в которых производная равна нулю или не существует;

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка и ;

4) выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Замечания.

1. Если функция непрерывная на отрезке имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

2. Если функция непрерывная на отрезке не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение М функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее m – на другом.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение:

1) .

при и .

2) Вычислим значения функции в точках и : , .

3) Вычислим значения функции на концах отрезка: , .

4) в точке , в точке .

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин.

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз на интервале , если он расположен выше любой его касательной на этом интервале. График функции называется выпуклым вверх на интервале , если он расположен ниже любой его касательной на этом интервале (рисунок 3.3).

Определение. Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба (рисунок 1).

Рисунок 1. – Выпуклость и вогнутость графика функции

Теорема (поиск интервалов выпуклости / вогнутости). Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же для любого – график выпуклый вниз.

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.