Учебная КАРТА практического занятия №16

Дата	Группа
	1111
	1211
	1311
	1411
	1511

Наименование учебной дисциплины

ОУДП.12 Математика

Наименование темы учебной дисциплины Тема 4.1 Элементы теории вероятностей

Тема практического занятия: Решение практических задач с использованием понятий и правил комбинаторики.

Количество часов: 2 часа 

Место проведения:  Кабинет Математики

Характер работы:  репродуктивный

Форма организации учебной деятельности студентов: индивидуальная

Образовательные задачи:

1)Обобщение, закрепление теоретических знаний:

- Основные понятия комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания; основные правил комбинаторики.

2)Формирование умений:

- решения практических задач с использованием понятий и правил комбинаторики

- решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике

  3) Формирование интеллектуальных и исследовательских умений: 

- выделять главное, существенные признаки;

- осуществлять самоконтроль и коррекцию своей учебной деятельности;

- рационально использовать рабочее время.

4)Формирование компонентов компетенций

- владеть основами научной организации труда.

Оборудование (аппаратура, материалы и др.):

– раздаточный материал, тексты заданий;

- ПК и медиаоборудование;

.

Задание студентам на самоподготовку (учебная и справочная литература):

Богомолов Н.В.Сборник дидактических заданий, Задание 57, с. 166-168

 

Хронологическая структура заданий практического занятия

Время (мин)	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90
Структурные элементы	1	2	2	2	3	3	3	4	4	4	4	4	4	4	4	4	5	5

ДИДАКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ЗАНЯТИЯ

Структурные элементы	Деятельность преподавателя	Деятельность студентов
1. Целевая установка.	1. Сообщение плана учебного занятия. 2. Ознакомление с требованиями к знаниям и умениям по теме.	1. Подготовка рабочего места 2. Запись темы урока.
2. Проверка теоретической готовности студентов к выполнению заданий практического занятия	Проверка домашнего задания: 1) проверка выполнения решения задач №№…. (в рабочих тетрадях) 2) организация фронтального опроса 3) организация индивидуального опроса (у доски) – решение типовой задачи с объяснением алгоритма действий	Демонстрируют выполнение домашнего письменного задания Отвечают на вопросы Решают задачу. Объясняют алгоритм решения
3. Инструктаж о содержании, этапах работы, способах (методах) действий.	1) Сообщение содержания и последовательности выполнения практических заданий 2) Представление комплектов материалов, необходимых для выполнения заданий (учебник, компьютерная презентация, раздаточный материал) 3) Обучение практическим приемам: Решение практических задач с использованием понятий и правил комбинаторики на примере решения типовой задачи	1) Подготовка к выполнению практических заданий 2) Ознакомление с комплектом учебных материалов 3) Усвоение правил работы:       Решение практических задач с использованием понятий и правил комбинаторики
4. Организация выполнения заданий практического занятия	1) Организация выполнения студентами практических заданий: Задания: решение задач с использованием понятий и правил комбинаторики 2) Организация работы над основными математическими понятиями: Основные понятия комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания; основные правил комбинаторики.	Самостоятельная работа студентов по выполнению заданий
5. Оценка выполненной работы	1) Проверка правильности выполнения заданий 2) Оценка результатов выполнения заданий	Ответы на поставленные вопросы, пояснения полученных результатов.

Основные понятия

  Элементы комбинаторики

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой P_n= n!

Задача 1

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

Решение: используем формулу количества перестановок:

Ответ: 120 способами

Задача 2

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки (цифры на которых различны! ), и это очень важная предпосылка для применения формулы P_n= n!

Решение: найдём количество всех возможных перестановок 4-х карточек:

 

Сочетаниями называют различные комбинации из m объектов, которые выбраны из множества n различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом.                     .

Задача 3

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение:

Ответ: 1365 способами

Задача 4. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

  Решение:

Ответ: 7140

Размещения

  Размещениями называют различные комбинации из m объектов, которые выбраны из множества n различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком. Количество размещений рассчитывается по формуле

Задача 5

Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по

В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

Решение: способами.
Другой вариант решения: способами можно выбрать 2-х человек из группы и способами распределить должности в каждой выборке. Таким образом, старосту и его заместителя можно выбрать способами.
Ответ: 506

Правило сложения и правило умножения комбинаций:

1) Знак «сложения» следует понимать и читать как союз ИЛИ.

Задача 6

Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?

Решение: в данном случае не годится подсчёт количества сочетаний , поскольку множество комбинаций из 2-х человек включает в себя и разнополые пары.

Условие «выбрать 2-х человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:

способами можно выбрать 2-х юношей;
способами можно выбрать 2-х девушек.

Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: способами.

Ответ: 123

Правило умножения комбинаций:

2) Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И.

Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?

способами можно выбрать 1 юношу;
способами можно выбрать 1 девушку.

Таким образом, 1-го юношу и 1 девушку можно выбрать: способами.

Когда из каждого множества выбирается по 1-му объекту, то справедлив следующий принцип подсчёта комбинаций: «каждый объект из одного множества может составить пару с каждым объектом другого множества».

То есть, Олег может пригласить на танец любую из 13-ти девушек, Евгений – тоже любую из 13-ти девушек, и аналогичный выбор есть у остальных молодых людей. Итого: возможных пар.

Следует отметить, что в данном примере не имеет значения упорядоченность пары; однако если принять во внимание инициативу, то количество комбинаций нужно удвоить, поскольку каждая из 13-ти девушек тоже может пригласить на танец любого из 10-ти юношей. Всё зависит от условия той или иной задачи!

Похожий принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: сколькими способами можно выбрать 2-х юношей и 2-х девушек для участия в сценке КВН?

Союз И недвусмысленно намекает, что комбинации необходимо перемножить:

возможных групп артистов.

 

Задача 7

Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?

Решение: для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***

Комбинации будем считать по разрядам – слева направо:

В разряд сотен можно записать любую из цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.

А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10-ти цифр: .

По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.

Итого, существует: трёхзначных чисел, которые делятся на 5.

При этом произведение расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами в разряд единиц»

Или ещё проще: «каждая из 9-ти цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10-ти цифр разряда десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц».

Ответ: 180

 

Практические задания:

Вариант 1

Пример 1. Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.

Пример 2. Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?

Пример 3. В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?

Пример 4. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределение мест между ними возможно?

Пример 5. Сколькими способами можно выбрать двух человек в президиум, если на собрании присутствует 78 человек?

Вариант 2

Пример 1. Пусть даны шесть цифр: 1; 3; 8; 4; 5. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.

Пример 2. Студенты института изучают в каждом семестре по девять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?

Пример 3. В группе из 28 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?

Пример 4. В соревнованиях участвовало пять команд. Сколько вариантов распределение мест между ними возможно?

Пример 5. Сколькими способами можно выбрать двух человек в президиум, если на собрании присутствует 87 человек?