Моменты инерции некоторых однородных тел

1.  Тонкий стержень (рисунок 5.6)

Предположим, что стержень длиной l имеет постоянное весьма малое сечение F и плотность

r. Его масса определится:

m = rV = rFl,

Рисунок 5.6

где V – объем тела,

м3.

Разобьем стержень на элементарные участки длиной

D xi, массы

которых

mi = rF D xi . Тогда момент инерции относительно оси z,

проходящей перпендикулярно стержню через его край, будет равен:

J   = å m x 2  = å rFx 2D x   = rF å x 2D x.

z              i  i                     i   i                     i   i

Перейдя к пределу суммы, получаем определенный интеграл:

l               r Fl 3             l 2 ml 2

Jz  = r F ò  x 2 dx =    = rFl = .

0                   3         3 3

С помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера определим момент инерции

z

стержня J

C

относительно центральной оси zC

параллельной оси z:

 

z

z

J = J - md 2

C

=  ml 2

3

- ml 2

4

ml 2

=

.

12

Момент инерции тонкого стержня относительно оси z:

.

 

Момент инерции тонкого стержня относительно оси дящей через центр масс:

 

zC, прохо-

.

2.  Круглый диск малой толщины и цилиндр (рисунок 5.7)

Предположим, что круглый  диск  радиусом R

имеет весьма малую толщину h и плотность r.

m = rV = rhF = rhp R 2.

Разобьем диск на элементарные кольца шириной

 

Рисунок 5.7

D ri, массы которых mi = rhFi.

æ D r ö2     æ D r ö2

Fi = p ç  ri   + i   ÷ - p ç  ri   - i   ÷

= 2 p ri D ri;

è   2  ø  è   2 ø

mi = 2 rhp ri D ri.

z             i  i                           i   i                         i   i

J   = å m r 2  = å2 rhp r 3D r = 2 rhp å r 3D r.

Перейдя к пределу суммы, получаем определенный интеграл:

 

R

R                                4

Jz   = 2 rhp ò r 3 dr = 2 rhp

= rhp R

2

R

= rhp R 2    =

mR 2

.

4

0                              4        2            2   2

Момент инерции круглого диска относительно оси z:

mR 2

J z =

.                                        (5.3)

2

Для круглого цилиндра (рисунок 5.8) момент

инерции инерций

J z

D J z

определим как сумму моментов элементарных пластинок толщиной

.

D zi, масса которых mi, относительно той же оси,

Рисунок 5.8

пользуясь формулой (5.3):

Jz  = D Jz  =

i

å  å  m R 2

R 2 å

 

 

 

mR 2

 

=

mi =

2   2           2

Момент инерции круглого цилиндра относительно оси z:

 

.

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ