Временные характеристики САУ

Временными характеристиками системы называются зависимости выходной величины от времени при входной величине, изменяющейся по заданному закону. В качестве таких характеристик рассматривается переходная и весовая функции.

Реакция системы (элемента) автоматического управления на единичную ступенчатую функцию при условии, что система (элемент) до приложения воздействия находилась в покое, называется переходной функцией h(t).

Переходную функцию можно получить как решение неоднородного дифференциального уравнения системы, правой частью которого является единичная ступенчатая функция. Выражение для переходной функции будет иметь вид

, (5.7)

Реакция САУ на единичную импульсную функцию при условии, что система до приложения воздействия находилась в покое, называется весовой функцией w(t).

, (5.8)
тогда

, (5.9)

то есть передаточную функцию системы автоматического управления можно определить как изображение по Лапласу весовой функции.

Из определения весовой функции следует

, (5.10)
то есть

(5.11)

Частотные характеристики САУ

При рассмотрении вынужденных колебаний систем при подаче на вход гармонических колебаний важную роль играют частотные характеристики. Их роль особенно заметна при исследовании устойчивости, а также при синтезе корректирующих устройств (регуляторов). Особую роль при разработке частотных методов сыграл В.В. Солодовников.

Передаточная функция W(p) определяется зависимостью (при нулевых н.у.):

Пусть k (t) абсолютно интегрируема, тогда можно записать:

(5.12)

где

- одностороннее преобразование Фурье выхода;

- одностороннее преобразование Фурье входа.

Выражение (5.2) запишем так:

Если

то

; (5.13)

. (5.14)

Дадим некоторые определения.

Комплекснозначная функция W (jω) называется комплексной частотной характеристикой системы (КЧХ) или амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ или АФХ).

Функции P(ω) и Q(ω) называются соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками.

Функции А(ω) и φ(ω), определяемые зависимостями (5.13) и (5.14), называются соответственно амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиками.

На рис. 5.1 представлены типовые АЧХ и ФЧХ системы.

Рис. 5.2. АЧХ и ФЧХ системы

Частота среза косвенно характеризует длительность переходного процесса; справедливо соотношение

(5.4)

Таким образом, можно сделать важный вывод: чем шире полоса пропускания, тем система является более быстродействующей.

Если на вход системы подается косинусоидальный сигнал с амплитудой y ₀, то на выходе в установившемся режиме имеет место также косинусоидальный сигнал с той же частотой, но уже с другими амплитудой и фазой: амплитуда выхода равна , имеющие конкретную угловую частоту .

В результате в системе возникает переходной процесс (имеет место составляющая x _п(t)) и установившиеся колебания с частотой ω₀. После затухания переходного процесса (т.е. в установившемся режиме), если систем устойчива x_п(t)→0 (t→∞), на выходе будут иметь место установившиеся колебания с частотой ω₀, равной частоте воздействия, но отличающиеся по амплитуде и по фазе. Одна точка АЧХ (А(ω₀) и φ(ω₀)) определяется зависимостями

φ(ω₀) – сдвиг фазы выходного сигнала по отношению ко входу. Аналогично можно построить все точки АЧХ и ФЧХ.

Логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ или ЛАХ) системы называется график функции L(ω) вида:

где

;

Рис. 5.3 – Экспериментальное определение частотных характеристик динамической системы (динамического звена); а – система или звено; б – процессы на входе и выходе

Рис. 5.5 – Логарифмические амплитудно-частотные характеристики

Единицей измерения является децибел. По оси абсцисс откладывается частота со [ω^-1] в логарифмическом масштабе (рис. 5.5). Равномерной единицей на оси абсцисс является декада. Декада представляет собой промежуток, на котором значение частоты увеличивается в 10 раз (рис. 5.5).

Частота ω_ср, на которой L(ω) пересекается с осью абсцисс, называется частотой среза. Поскольку lg 1 = 0. то начало координат чаще всего берется в точке ω = 1 (исключая точку ω = 0, так как lg 0 = -∞). Таким образом, начало координат можно брать в любой точке (в зависимости от интересующего нас диапазона частот, например: ω = 0,05; ω = 0,1; ω = 1; ω = 10 или другие), исключая точку ω = 0. Обычно начало координат помещают в точке ω = 1.

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ или ЛФХ) называется график зависимости:

При построении логарифмической фазовой частотной характеристики отсчет углов φ идет по оси ординат в обычном масштабе в угловых градусах. По оси абсцисс откладывается по-прежнему частота ω в логарифмическом масштабе.

Важно иметь в виду, что ось абсцисс соответствует значению А = 1, т.е. прохождению амплитуды входного сигнала через звено в натуральную величину. Верхняя полуплоскость ЛАЧХ соответствует значениям А > 1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость — значениям А < 1 (ослабление амплитуды).

Как уже говорилось ранее, Величина L(w) измеряется в децибелах, а j(w) - в градусах или радианах. Единицами измерения логарифмической оси частот являются октавы и декады.

Октавой называется интервал частот, соответствующий изменению частоты в два раза и равный lg2=0.3010. Декадой называется интервал частот, соответствующий изменению частоты в десять раз и равный lg10=1. Легко подсчитать, что одна декада содержит 3.32 октавы. Точка, соответствующая значению частоты, равному нулю, лежит слева в бесконечности, т.к. lg0=-¥. Поэтому ось ординат проводится через любую точку оси частот так, чтобы справа располагалась та часть ЛЧХ, которую нужно исследовать.

Можно рекомендовать следующую методику построения логарифмической сетки координат. Вначале ось частот разбивается на декады и октавы, причем каждая декада разбивается на октавы отдельно. Для удобства инженерной практики под точками этой оси пишут не значения логарифмов частот, а сами частоты.

Рис. 5.6. Оси логарифмической системы координат.

Рекомендуется ось ординат в отношении фазовой характеристики располагать так, чтобы с точкой начала координат совпадало значение фазы, равное -180⁰, положительное направление шло вниз, а отрицательное - вверх. Общепринятое расположение оси фазы не является ошибкой, но рекомендованное здесь расположение во многих случаях облегчает применение для анализа и синтеза систем разработанных графоаналитических методов.

Во многих случаях передаточную функцию системы можно представить в виде произведения передаточных функций элементарных звеньев