Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной.

Уравнение имеет вид: А (х) у' + В (х) у = С (х) .

Разделим почленно на А (х):      или

Решение этого уравнения сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными подстановкой y = uv, где u (x) и v (x) – дифференцируемые функции.

Итак, y = uv; y' = u' v + v' u. Тогда u' v + u [ v' + P (x) v ] = Q.

Так как у = uv есть произведение двух функций, то одну из них можно взять такой, чтобы v' + P (x) v = 0.

Получим систему уравнений:

Сначала находим v (х) из первого уравнения, а затем u (х) из второго, после чего находим у (х).

Пример: Найти частное решение дифференциального уравнения ху' - 2 у = 2 х ⁴, удовлетворяющее начальным условиям: . Это линейное уравнение.  Разделим обе его части на х: .

Примем у = uv; y' = u' v + v' u. Получим .

Сгруппируем второе и третье слагаемые: .

Имеем систему: .

Решаем первое уравнение . Это уравнение с разделяющимися переменными: .

, т.к. функцию v (х) подбираем произвольно, положим с = 0, тогда .

Подставим найденную функцию v = х ² во второе уравнение системы:

.

Общее решение уравнения у = uv; у =(х ² + с) х ².

Найдем частное решение уравнения. Подставим начальные условия:   в функцию у = (х ² + с) х ², получим 2 = 1+ с, тогда с = 1.

Частное решение имеет вид: у = (х ² + 1) х ².

Вопросы для самоконтроля.

1. Дайте определение дифференциального уравнения.

2. Как определяется порядок уравнения?

3. Что является решением дифференциального уравнения?

4. Что такое общее и частное решение дифференциального уравнения?

5. Что такое задача Коши?

6. Какое уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными?

Литература: [4] стр. 325-330, [9] стр. 15-28, [6] стр. 478-485.

     Примеры: [2] стр.117-130; [7] стр.215-217.