2020-05-12
645
Заметим, что за 120 часов Игорь и Паша могут покрасить 6 заборов, Паша и Володя — 5 заборов, а Володя и Игорь — 4 забора. Работая вместе, за 120 часов они могли бы покрасить 15 заборов. Следовательно, один забор два Игоря, два Паши и два Володи могут покрасить за 8 часов. Поэтому, работая втроем, Игорь, Паша и Володя покрасят забор за 16 часов.
Задание 23 № 339866
Прямая y = 2 x + b касается окружности x 2 + y 2 = 5 в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания.
Решение.
Прямая касается окружности, если система уравнений
имеет только одно решение. Подставляя выражение для 
из первого уравнения во второе, получим:
Данное квадратное уравнение должно иметь единственное решение, поэтому дискриминант должен быт равен нулю:
Найдём координаты точки касасния. При 
второе уравнение системы принимает вид:
Точка касания имеет отрицательную абсциссу, поэтому корень 
не подходит по условию задачи.
При 
второе уравнение системы принимает вид:
|
|
|
Подставляя 
и 
в первое уравнение системы, получаем 
Координаты точки касания (2; −1).
Ответ: (2; −1).
Задание 24 № 311666
Диагонали 
и 
трапеции 
пересекаются в точке 
. Площади треугольников 
и 
равны соответственно 
и 
. Найдите площадь трапеции.
Решение.
По условию 
, поэтому 
и 
являются не боковыми сторонами, а основаниями трапеции. Тогда треугольники 
и 
подобны по двум углам, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия 
. Поэтому 
. Поскольку треугольники 
и 
имеют общую высоту, проведённую из вершины 
, отношение их площадей равно отношению их оснований, т. е. 
. Значит, 
.
Площади треугольников 
и 
равны, так как эти треугольники имеют общее основание 
и их высоты, проведённые к этому основанию, равны как высоты трапеции, следовательно,
.
Поэтому и 
.
Ответ: 
.
Примечание.
Учащиеся, изучающие геометрию углубленно, могут решить задачу в один шаг:
Задание 25 № 350829
В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB 1 и CC 1. Докажите, что треугольники AB 1 C 1 и ABC подобны.
Решение.
Углы 
и 
равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, углы 
и 
равны, следовательно, эти треугольники подобны, откуда 
Рассмотрим треугольники 
и 
углы 
и 
равны как вертикальные, 
следовательно, эти треугольники подобны.
Задание 26 № 314829
На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?
Решение.
|
|
|
Введём обозначения, как показано на рисунке. Здесь AC — положение «журавля» до опускания, BD — положение после опускания, AH — высота, на которую поднялся конец короткого плеча, CK — высота, на которую опустился конец длинного.
В равнобедренных треугольниках AOB и COD углы AOB и COD, противолежащие основаниям, равны как вертикальные, поэтому равны и углы при их основаниях. Тем самым, эти треугольники подобны по двум углам, и
Накрест лежащие углы 1 и 2, образованные при пересечении секущей BD прямых AB и CD, равны, поэтому прямые AB и CD параллельны. Тогда стороны углов 3 и 4 попарно параллельны, а значит, эти углы равны.
Следовательно, прямоугольные треугольники AHB и CDK подобны, поскольку имеют равные острые углы. Имеем:
Ответ: 1,5.
