2020-05-11
251Задания
№1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=6t2−48t+17 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.
№2. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=12t3−3t2+2 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.
№3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=−t4+6t+5t+23 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 3 с.
№4. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t2−13t+23 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
№5. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=13t3−3t2−5t+3 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
|
|
|
№6. Напишите уравнение касательной к графику функции y =4 x 2-4 в точке x =2,5.
№7. Напишите уравнение касательной к графику функции y =3 x 3−2 x 2+6 x −8 в точке x =-1.
№8. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x2 +5 x +7 в точке x =2.
№9. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 3 x2 +2 x +3в точке x =4.
№10. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x 2+7 x +49 в точке x =3.
Лекция по теме «Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы»
Определение. Функция называется возрастающей на (a;b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции:
Определение. Функция называется убывающей на (а;b), если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции:
Определение. Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.
Теорема (необходимое условие возрастания функции) Если дифференцируемая на (а;b) функция ƒ(х) возрастает на интервале (а;b), то ƒ′(х) ≥0 для любого хє(а;b).
Доказательство. Пусть x> х0, тогда ƒ(х)>ƒ(х0). Поэтому x- х0>0 и 
.
Так как ƒ(х) дифференцируема на (а;b), то, переходя к пределу в неравенстве при x > х0, получим
Теорема доказана.
|
y=2x ƒ′(x)>0
Рис. 1. Связь монотонности со знаком производной
Теорема (Необходимое условие убывания функции). Если дифференцируемая на (а;b) функция ƒ(х) убывает на интервале (а;b), то ƒ′(х)≤ 0 для любого хє(а;b).
Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если функция ƒ(х) имеет положительную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция ƒ возрастает на (а;b).
|
|
|
Теорема (Достаточное условие убывания функции). Если функция ƒ(х) имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция ƒ убывает на интервале (а;b).
Пример:
Найти интервалы монотонности функции 
.
Решение. Функция определена на множестве всех действительных чисел. Найдем её производную:
Находим знак ƒ′(х) методом интервалов:
- + -
х
ƒ′(х) >0 при хє 
, следовательно ƒ(х) возрастающая 
на этом интервале; 
при 
или 
, следовательно ƒ(х) убывающая 
на этих интервалах. Границы интервалов могут быть включены в интервалы монотонности, т. к. функция непрерывна в этих точках. Можно записать:
; 
Рис. 2. Точки минимума функции
Определение. Точка х0 называется точкой минимума функции ƒ, если найдется такая окрестность точки х0, что для всех х из этой окрестности справедливо неравенство 
Определение. Точка х0 называется точкой максимума функции ƒ, если найдется такая окрестность точки х0, что для всех х из этой окрестности справедливо неравенство 
.
y y
Рис. 3. Точки максимума функции
Определение. Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функций.
Определение. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками первого рода.
Теорема Ферма (Необходимое условие экстремума). Если точка х0 является точкой экстремума функции ƒ и в этой же точке существует производная, то она равна нулю: ƒ′(х0)=0
Теорема (Достаточное условие максимума) Если функция ƒ непрерывна в точке х0, а ƒ′(х)>0 на интервале 
и ƒ′(x)<0 на интервале 
, то точка х0 является точкой максимума функции ƒ.
Иными словами: Если функция ƒ непрерывна в точке х0 и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+»на «-», то х0 – точка максимума функции ƒ.
Теорема (Достаточное условие минимума). Если функция ƒ непрерывна в точке х0, ƒ′(x) на интервале и ƒ′(x)>0 на интервале , то точка х0 является точкой минимума функции ƒ.
Иными словами: Если функция ƒ непрерывна в точке х0 и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+», то х0 - точка минимума функции ƒ.
Пример:
Найти точки экстремума функции 
.
Решение. Найдем производную: 
.
Критические точки первого рода: ƒ′(х)=0 => (3-3х²=0) => (х1=-1;х2=+1).
Знак производной:
- + -
х
х=-1 – точка минимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+».
х=1 – точка максимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+» на «-».
Упражнения:
1. Найти интервалы монотонности функции:
а) ƒ(x)=5x-2;
б) 
;
в) ƒ(x)=x²+x-1;
г) ƒ(x)=7x²+14x+1;
д) 
;
е) 
.
7.29.2. Найти экстремумы функций:
а) ƒ(x)=1+4x-x²;
б) ƒ(x)=3+x²-6x;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж) 
;
з) ƒ(x)=x lnx;
и) 
;
к) 
.
