Теорема: Если две прямые параллельны третей, то они параллельны

Тема «Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых.

1. Повторение пройденного материала.

Ответьте на вопросы:

1. Верно ли, что если концы отрезка лежат в данной плоскости, то и его середина лежит в данной плоскости?

2. Могут ли две плоскости иметь общую точку, но не иметь общей прямой?

3. Точка А не лежит в плоскости KMN. Назовите прямую пересечения плоскостей AMN и AKM.

4. Даны точки А, В, С и D. Плоскость α проходит через прямую АВ, но не проходит через точку С. Прямые AD и ВС пересекаются в точке В. Сколько данных точек лежит в плоскости α?

5. В пространстве даны прямая и точка. Сколько различных плоскостей можно через них провести?

6. Верно ли, что если три данные точки лежат в одной плоскости, то они не лежат на одной прямой?

7. Могут ли три прямые иметь общую точку, но не лежать в одной плоскости?

8. Три прямые пересекаются в точке А. Через данную точку необходимо провести плоскость, содержащую ровно две из трех данных прямых.

Сколько таких плоскостей можно провести? Рассмотрите все возможные случаи.

 

2. Изучение нового материала:

 

  Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая,параллельная данной и притом только одна.

Дано: А; А ∈ а. Провести через А прямую b || а, доказать ее единственность (рис. 2).

 

Доказательство:

По условию даны прямая а и не лежащая на ней точка А. По ранее доказанной теореме через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем плоскость α. Теперь в плоскости а через току А проведем прямую b || а, а из планиметрии известно, что через точку А вне прямой а можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Теорема доказана.

В дальнейшем нам понадобятся такие понятия: два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых, аналогично определяются параллельность отрезка и прямой, параллельность двух лучей.

Лемма: (о пересечении плоскости параллельными прямыми)

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема: Если две прямые параллельны третей, то они параллельны

 Дано: а || с; b || с (рис. 4). Доказать, что а || b, то есть 1) лежат в одной плоскости; 2) не пересекаются.

Доказательство: 1) Возьмем на прямой b точку М и через а и М проведем плоскость α. Докажем, что b ⊂ α.

Если допустить, что b ∩ α, то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с ∩ α, но а || с, значит, а ∩ α, что невозможно, так как а ⊂ α.

2) Прямая a ∩ b, так как в противоположном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые (а и b), параллельные с, что невозможно. И значит, а || b и теорема доказана.

Задача.

 

Дано: М - середина BD; N - середина CD; Q - середина АС; Р - середина АВ; AD = 12 см; ВС = 14 см (рис. 5).

Найти: PMNQP -?

 

Решение:

1. MN || BC по составу средней линии ⇒ MN || PQ; PQ || BC.

2. РМ || AD по составу средней линии ⇒ PM || QN; NQ || DA.

3. По определению MNQP - параллелограмм.

4. PQ = 7; РМ = 6 ⇒ РMNQP = 2(7 + 6) = 26.

(Ответ: 26 см.)

 

Задание: изучить материалпо теме, выполнить конспект,

Решить задачу: Параллельные прямые а и в лежат в плоскости альфа. Докажите, что прямая с, пересекающая прямые а и в, также лежит в плоскости альфа.