2020-05-12
883
Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.
Р(А*В)=Р(А)*Р(В). (1.20)
Доказательство.
Пусть А не зависит от В, тогда согласно теореме умножения вероятностей (1.19) и равенству Р(А\В)=Р(А), вытекающему из определения независимых событий, получим:
Р(А*В)=Р(В)*Р(А\В) =Р(В)*Р(А).
Следствие 2.
Если А и В независимы, то независимы и пары: 
Доказательство.
Покажем, что если А и В независимы, то события А и 
также независимы.
Действительно, так как 
Ø, то по теореме сложения для несовместных событий (1.12): 
Следовательно, 
Так как А и В независимы, то 
Значит А и – независимые события.
Аналогично можно доказать независимость событий 
и В, и .
Следствие 3.
Для n независимых испытаний, в каждом из которых случайное событие А может появиться с вероятностью Р(А)=р, вероятность появления А хотя бы один раз равна:
. (1.21.)
Доказательство.
Обозначим через 
появление события А в i-м испытании. Тогда событие В, состоящее в появлении события А в испытаниях хотя бы один раз запишется в виде: 
.
Рассмотрим событие , заключающееся в том, что при испытаниях событие А не наступит ни разу, тогда 
. Так как В и — события противоположные, 
, получим, что 
Так как события не зависят от остальных, то 
.
Пример 2.5. В коробке имеется 5 новых и 7 использованных батареек. Случайным образом из коробки извлекают 2 батарейки. Какова вероятность, что обе батарейки окажутся новыми, если осуществляется выбор:
а) без возвращения - батарейки не возвращаются обратно;
б) с возвращением - батарейки после извлечения возвращаются обратно в коробку.
Решение.
Обозначим события:
– 1 -я извлеченная батарейка – новая;
– 2-я извлеченная батарейка – новая;
А – обе извлеченные батарейки – новые.
Очевидно, что событие А является произведением и , так как оба эти события должны наступить для того, чтобы произошло событие А, т. е. А= *
А. Так как выбор осуществляется без возвращения, то события и , – зависимые, так как вероятность события – извлечения 2-й новой батарейки – зависит от того, произошло или не произошло до этого событие – извлечение 1-й новой батарейки.
Вероятность того, что 1-я извлеченная батарейка будет новой равна: 
.
После этого в коробке останется 11 батареек, из них 4 новые. Таким образом, условная вероятность события , при условии что перед ним произошло событие , равна: 
.
По теореме умножения для зависимых событий (1.19), вероятность искомого события А:
Б. Так как выбор осуществляется с возвращением, то состав коробки не изменяете следовательно, события и , – независимые, так как вероятность события – извлечения 2-й новой батарейки – не зависит от того, произошло или не произошло этого событие .
Вероятность того, что 1-я и 2-я извлеченные батарейки будут новыми равна: ; 
.
По теореме умножения для независимых событий (1.20), вероятность искомого события А:
Пример 2.6. Вероятность сдать каждый из 3 экзаменов сессии на отлично для студента М равны соответственно 0,8; 0,7 и 0,75. Найти вероятность того, что студент сдаст на отлично:
а) все три экзамена;
б) два экзамена;
в) хотя бы один экзамен.
Решение.
Обозначим события:
– студент сдаст на отлично первый экзамен;
– студент сдаст на отлично второй экзамен;
– студент сдаст на отлично третий экзамен.
Противоположные им события обозначим соответственно: 
По условию, вероятности этих событий равны:
; 
.
Так как вероятность сдачи на отлично какого-то одного экзаменов не зависит от вероятностей отличной сдачи двух других, то события 
и независимы.
A. Событие 
, состоящее в том, что студент сдаст на отлично все три экзамена, означает одновременное наступление трех событий и , т. е. = 
. Так как события 
и 
независимы, то по теореме умножения для независимых событий (1.20):
B. Событие 
, состоящее в том, что студент сдаст на отлично два экзамена, означает, что студент либо сдал на отлично первые два экзамена, а по третьему не получил отличную оценку, либо сдал на отлично первый и третий экзамены, а по второму не получил отличную оценку, либо сдал на отлично второй и третий экзамены, а по первому получил не отличную оценку, т. е. 
Так как события 
не могут произойти одновременно, то они несовместны, и, следовательно, применяя последовательно теорему сложения для несовместных событий (1.13) и теорему умножения для независимых событий (1.20), получим:
В. Событие, противоположное событию 
, состоящему в том, что студент сдаст на отлично хотя бы один экзамен, означает, что студент не сдаст на отлично ни один из экзаменов, т. е. 
Так как события и независимы, то по следствию из теоремы умножения для зависимых событий, противоположные им события также независимы, и, следовательно, по теореме умножения для независимых событий (1.20):
А в соответствии со следствием (1.15):
[1] В литературе встречается еще одно обозначение условной вероятности события А, при условии, что В произошло: 
.
