Существуют различные характеристики, позволяющие детально описывать поведение функции в окрестности заданной точки. Одной из таких характеристик является средняя скорость изменения функции на промежутке , которая представляет собой отношение изменения функции к соответствующему изменению аргумента :
(1) |
Термины "изменение аргумента" и "изменение функции" порождают ассоциацию с неким динамическим процессом, в котором аргумент играет роль времени, а функция этого аргумента характеризует пройденный путь или скорость движения частицы. Перечень подобных толкований можно продолжить, подразумевая под изменением функции, например, изменение масса тела, заключенной в сфере малого радиуса, при смещении центра сферы из одной точки в другую и так далее. Поэтому математики отдают предпочтение нейтральным терминам, называя разность приращением функции, а величину ∆ x – приращением аргумента.
Пусть, например, . Тогда средняя скорость изменения функции на промежутке [1, 3] равна
|
|
Физическая интерпретация средней скорости изменения функции вполне очевидна. Если описывает зависимость пройденного частицей пути от времени x ее движения, то представляет собой среднюю скорость движения частицы за промежуток времени ∆ x.
Мгновенная скорость изменения функции представляет собой среднюю скорость изменения функции на бесконечно малом промежутке ∆ x. Чем меньше ∆ x, тем ближе средняя скорость к мгновенной скорости. Термин “мгновенная скорость изменения функции” выражает суть обсуждаемого понятия, однако обычно мгновенную скорость называют производной функции и обозначают символическим выражением .
Таким образом, производная функции представляет собой предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:
(2) |
(Выражение в левой части этого равенства читается как “дэ эф по дэ икс”.) Производная функции обозначается также символом , который читается как “эф штрих от икс”.
Функция, имеющая конечную производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке. Говорят, что функция дифференцируема на промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.
Производную функции можно найти численно, графически или вычислить с помощью алгебраических формул. Для численного нахождения в точке x используется приближенная формула
(3) |
Проиллюстрируем диапазон применимости этой формулы численными расчетами. Пусть, например, . Результаты вычислений производной функции в точке x = 1 при различных значениях ∆ x представлены в таблице 1.
|
|
Таблица 1.
∆ x | 1 | 0.1 | 0.01 | 0/001 | 0.000001 |
6 | 5.1 | 5.01 | 5.001 | 5.000001 |
Очевидно, что последовательность значений приближается к числу 5 по мере уменьшения ∆ x. Поэтому можно предположить, что точное значение равно пяти. Именно таким и является точное значение.
Для оценки “на лету” достаточно выбрать одно малое значение ∆ x и вычислить разностное отношение (3). Более точную оценку дает сбалансированное отношение
(4) |
Средняя и мгновенная скорости изменения функции |
|
***
|
Задания на уроке:
Учебник Абылкасымова 10 кл. стр 87 №140, 143, 153, 157, 158, 161,
На оценку: 165, 174
Домашнее задание: стр. 87 №147, 148, 151,
Конспект учебник Абылкасымова 10 кл. стр 88 Физический и геометрический смысл производной. Касательная к графику функций стр.93 № 163, 169