Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1

Тема: Решение логарифмических неравенств.

Задание:

Изучить очень внимательно материал.

Решить № 45.1(а), 45.2(а), 45.4.

Логарифмическое неравенство: решение на примерах

При решении логарифмического неравенства важно правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Рассмотрим:

1. Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства

2. Решение логарифмического неравенства с основанием больше 1

3. Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1

Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства

Простейшее логарифмическое неравенство можно записать в виде: знак можно заменить на <, ≤ или ≥.

В логарифмическом неравенстве вначале решения нам важно определить область допустимых значений (ОДЗ). Далее мы смотрим на основание логарифма – a. Напомним, что основание логарифма должно быть положительным, и не должно равняться единице.

Если у логарифма в неравенстве а > 1, то знак неравенства не меняется.

Если у логарифма в неравенстве 0 < а < 1, то знак неравенства меняется на противоположный.

Рассмотрим примеры.

Решение логарифмического неравенства с основанием больше 1

Вначале определяем ОДЗ: 2х + 4 > 0

Решаем это простейшее неравенство и получаем х > -2.

Таким образом, область допустимых значений данного неравенства х > -2.

Далее решаем непосредственно логарифмическое неравенство. Так как основание логарифмов (основание = 2) в неравенстве больше единицы, знак неравенства сохраняется: Так как логарифмы в неравенстве имеют одинаковое основание, то мы их можем просто отбросить и решить неравенство вида

Учитывая ОДЗ, определяем окончательный ответ.

Отметим полученные значения на числовой оси:

Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1

Теперь разберем то же самое неравенство, только основание логарифма будет равно ½. Определяем ОДЗ, как и в прошлом примере, х > -2.

Далее смотрим на основание логарифма. В данном случае основание равно ½, т.е. находится в области от 0 < а < 1. В этом случае при переходе от логарифмического неравенства к линейному знак исходного неравенства меняется на противоположный. Получим:

в результате:

Вспоминаем про ОДЗ и определяем окончательный ответ. Отметим полученные точки на числовой

оси: Таким образом, решением нашего неравенства является:

ПРИМЕРЫ

1.Решить неравенство:

ОДЗ:

Решение:

Так как основание логарифма больше 1, то знак неравенства сохраняем:

Ответ:

2.Решить неравенство:

ОДЗ:

Решение:

Так как основание логарифма меньше 1, то знак неравенства меняем:

Пересекаем решение и ОДЗ, имеем:

3.Решить неравенство:

ОДЗ:

Решим методом интервалов. Корень числителя – , корень знаменателя – эта точка выколота всегда, корень числителя – тоже выколотая точка, так как знак строгий. Таким образом, .

Решение:

Переходим к сравнению подлогарифмических выражений, знак сохраняем: основание больше 1:

Корень числителя – , корень знаменателя – эта точка выколота всегда, корень числителя – точка закрашенная, она войдет в решение, так как знак неравенства не строгий. Таким образом, .