Рассмотрим простейшие уравнения первой Особой группы

 

Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения.

Иными словами, уравнение  имеет решения при любом , множеством решений уравнения  является множеством действительных чисел R.

 

7..

 

Идя по алгоритму решения простейшего тригонометрического уравнения:

- представим схему единичной окружности (Рис.7);

- отметим на оси тангенсов заданное значение величины tgx, равное 0 (нулю) (а = 0), где tgx равен нулю – это точка пересечения единичной окружности с осью тангенсов в точке их касания, то есть в точке пересечения с осью ОХ (Рис.7);

- обращаем внимание, что на единичной окружности выделяются две точки, лежащие на одной линии луча, который пересечет ось тангенсов в точке ноль на оси тангенсов. Это две точки на единичной окружности, которые соответствуют значениям углов, равных 0 и π радиан (см.рис.7):

Рис.7

Эти две точки на единичной окружности, равные 0 и π радиан, и есть решения данного простейшего тригонометрического уравнения. При этом второе решение π получим путем полуоборота (π) от угла, равного 0 радиан.

Поэтому, далее при совершении бесконечного целого числа поворотов (π) (полуоборотов) против часовой стрелки и по часовой стрелке получим целую серию решений (множество значений х), при которых tgx будет равен 0, это значения х: 0; ±π; ±2π; ±3π;…

Все эти углы получаем из первого угла 0 путем прибавления целого числа полуповоротов π (то есть с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны).

Таким образом можем записать полученную серию решений данного уравнения одной формулой, решение в общем виде (для любого числа оборотов, то есть для любого числа n):

 

 

где n – число оборотов, выраженное положительным или отрицательным целым числом из множества целых чисел Z.

 

Имеем диаметральную горизонтальную пару точек.

 

8.

 

Идя по алгоритму решения простейшего тригонометрического уравнения:

- представим схему единичной окружности (Рис.8);

- отметим на оси тангенсов заданное значение величины tgx, равное 1 (а = 1), где tgx равен 1 – это точка пересечения линии луча угла х с осью тангенсов (Рис.8);

- обращаем внимание, что на единичной окружности выделяются две точки (диаметральная пара), лежащие на одной линии луча, который пересечет ось тангенсов в точке 1 на оси тангенсов. Это две точки на единичной окружности, которые соответствуют значениям углов, равных π/4 и 5 π/4 радиан (см.рис.8):

Рис.8

Эти две точки на единичной окружности, равные π/4 и 5 π/ 4 радиан, и есть решения данного простейшего тригонометрического уравнения. При этом второе решение 5π/4 получим путем полуоборота (π) от угла, равного π/4 радиан.

Поэтому, далее при совершении бесконечного целого числа поворотов (π) (полуоборотов) против часовой стрелки и по часовой стрелке получим целую серию решений (множество значений х), при которых tgx будет равен 1, это значения х: π/4, 5 π/ 4, 9π/4 ,…;

 и -3π/4, - 7π / 4…

Все эти углы получаем из первого угла π/4 путем прибавления целого числа полуповоротов π (то есть с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны).

Таким образом, можем записать полученную серию решений данного уравнения одной формулой, решение в общем виде (для любого числа оборотов, то есть для любого числа n):

 

где n – число оборотов, выраженное положительным или отрицательным целым числом из множества целых чисел Z.

 

9.

 

Идя по алгоритму решения простейшего тригонометрического уравнения:

- представим схему единичной окружности (Рис.9);

- отметим на оси тангенсов заданное значение величины tgx, равное (-1) (а = -1), где tgx равен - 1 – это точка пересечения линии луча угла х с осью тангенсов (Рис.9);

- обращаем внимание, что на единичной окружности выделяются две точки (диаметральная пара), лежащие на одной линии луча, который пересечет ось тангенсов в точке - 1 на оси тангенсов. Это две точки на единичной окружности, которые соответствуют значениям углов, равных - π/4 и -5 π/4 радиан (см.рис.9):

Рис.9

Эти две точки на единичной окружности, равные - π/4 и - 5 π/ 4 радиан, и есть решения данного простейшего тригонометрического уравнения. При этом второе решение - 5π/4 получим путем полуоборота (π) от угла, равного - π/4 радиан.

Поэтому, далее при совершении бесконечного целого числа поворотов (π) (полуоборотов) против часовой стрелки и по часовой стрелке получим целую серию решений (множество значений х), при которых tgx будет равен - 1, это значения х: - π/4 и - 5 π/ 4, -9π/4,…;

 и    3π/4,7 π/ 4…

Все эти углы получаем из первого угла - π/4 путем прибавления целого числа полуповоротов π (то есть с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны).

Таким образом, можем записать полученную серию решений данного уравнения одной формулой, решение в общем виде (для любого числа оборотов, то есть для любого числа n):

 

где n – число оборотов, выраженное положительным или отрицательным целым числом из множества целых чисел Z.

 

Итак, мы разобрали решение простейших тригонометрических уравнений, содержащие в правой части особые табличные значения тригонометрических функций (0, +1, -1).

 

Следующий дистанционный материал будет посвящен решению простейших тригонометрических уравнений с другими табличными значениями тригонометрических функций.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Рассмотреть, законспектировать и изучить представленный материал.

2. Серию особых решений для уравнений: ctgx = 0, ctgx = 1, ctgx = -1 сделать в конспекте самостоятельно, по аналогии с приведенными решениями для тангенса. Внести в конспект.

3. Выучить группу особых решений простейших тригонометрических уравнений.

4. Знать ответы на Контрольные вопросы к теме:

- Понятие тригонометрического уравнения.

- Понятие тригонометрического круга.

- Определения и описание свойств тригонометрических функций.

- Понятие формул приведения.