Внесение переменной под знак дифференциала

Если подынтегральную функцию можно представить как произведение сложной функции на производную (или функциональную часть этой производной), то замена

позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному интегралу, т.е.

если , то

Переход в подынтегральном выражении от записи к записи называют внесением множителя под знак дифференциала. Разумеется (и в этом главная трудность и новизна), нужно научиться в одном из множителей подынтегрального выражения узнавать производную от какой-либо другой его части (пользоваться таблицей производных "в обратную сторону").

Пример 4. Найти интегралы:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

Решение:

а) ;

Для того чтобы решить этот интеграл необходимо под дифференциалом получить

Замечая, что и то, что подынтегральное выражение можно представить в виде

Произведем внесение под знак дифференциала. Для этого выпишем дифференциал:

(смотри формулу 11).

Более того,

Тогда

б) ;

Зная, что (см. формулу (10) таблицы интегралов), и узнавая в множителе (без множителя 3) производную : , можем написать:

в) ;

Зная, что , и, узнавая в множителе производную получим

г) ;

Зная, что (см. формулу (1) таблицы интегралов), и узнавая в множителе (без множителя 8) производную

, можем написать:

В простейших случаях, применяя следующие преобразования дифференциала их возможные комбинации и обозначая мысленно выражение в скобках за новую переменную, интегралы сводятся к табличным.

1.5 Интегрирование по частям

Теорема 1. Пусть функции и имеют непрерывные производные и , тогда

Если в целях краткости записи воспользоваться обозначением дифференциала:

, ,

то формула интегрирования по частям примет вид:

Переход от левой части формулы (15) к правой части оказывается полезен, если для произведения первообразная находится проще, чем для исходного произведения .

Применяя интегрирование по частям, нужно разбить подынтегральное выражение на два множителя и , причем так, чтобы, во-первых, по легко можно было найти , то есть по найти первообразную , а во-вторых, чтобы для интеграла в правой части формулы (14) метод отыскания первообразной был известен.

Таким образом, интегрирование по частям проводится в три этапа:

* Подынтегральное выражение разбивается на два множителя и .

* По находится (дифференцированием), а по находится (интегрированием).

Отметим, что при переходе от к ищется одна какая-либо первообразная без произвольной постоянной .

* Производится переход к правой части формулы (15) и находится интеграл

К числу интегралов, вычисляемых по частям, относятся, например, интегралы вида , где – многочлен.

Для интегралов вида за следует принять а за — соответственно выражения .

Для интегралов вида за принимаются соответственно функции а за — выражение

Для интегралов вида применяется двукратное интегрирование по частям и из полученного выражения определяется исходный интеграл. В этом случае безразлично, что именно принимается за и .

Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно.

Пример 6. Найти интеграл:

Решение:

Положим

Найдем

Обычно эти преобразования записывают следующим образом

Пример 7. Найти интеграл:

Решение:

Пример 8. Найти интеграл:

Решение:

1.6 Интегрирование рациональных дробей

Пусть требуется проинтегрировать правильную рациональную дробь.

Определение 1. Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называетсяотношение двух многочленов

Определение 2. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, строго меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе.

Если знаменатель правильной дроби разложен на множители первой степени вида , множители ой степени и множители второй степени вида с отрицательным дискриминантом , то дробь раскладывается на сумму простейших дробей. При этом:

* множителю знаменателя соответствует простейшая дробь ;

* множителю знаменателя соответствует сумма простейших дробей: ;

* множителю знаменателя, , соответствует простейшая дробь .

Для отыскания неизвестных коэффициентов в числителях применяется метод неопределенных коэффициентов.

· дробь представляется в виде суммы простейших дробей с неизвестными коэффициентами в числителях.

· эта сумма приводится к общему знаменателю (который совпадает со знаменателем исходной дроби).

· приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях числителя исходной дроби и числителя, полученного при приведении к общему знаменателю. Это дает систему линейных управлений для отыскания неизвестных коэффициентов.

· После того, как коэффициенты найдены, каждая простейшая дробь интегрируется стандартным способом.

Именно,

наконец,

находится путем выделения в числителе производной знаменателя, а затем выделения полного квадрата в знаменателе.

Пример 9. Найти интеграл:

Решение:

Множителю знаменателя соответствует простейшая дробь . Множителю соответствует сумма простейших дробей: . Таким образом,

Приводим сумму в правой части к общему знаменателю:

Таким образом,

Из равенства дробей c одинаковыми знаменателями вытекает равенство их числителей, а значит, равенство коэффициентов при одинаковых степенях :

Итак,

Пример 10. Найти интеграл:

Решение: Множителю знаменателя соответствует простейшая дробь . Множителю , имеющему отрицательный дискриминант, соответствует простейшая дробь . Следовательно,

Получаем систему уравнений:

1.7 Замена переменной в неопределенном интеграле

Замена переменной также основана на инвариантности формул интегрирования и позволяет переходить к более простым интегралам.

Пусть переменная интегрирования заменяется функцией от новой переменной с непрерывной производной и . Тогда

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Ø Обратите внимание! В неопределенном интегралепосле операции интегрирования по новой переменной необходимо вернуться к исходной переменной .

Пример 5. Найти интегралы:

а) б)

в) г) .

Решение:

а)

Сделаем замену переменной Отсюда

и Тогда будем иметь

переходя к переменной , получим

б)

Сделаем замену переменной Следовательно,

Тогда получим

в) Интеграл найдем подстановкой Тогда и

Иногда вместо подстановки лучше выполнить замену переменной вида

г) . Полагая получаем

отсюда и

Если подынтегральная функция содержит , полезной оказывается подстановка

Пример 11. Найти интегралы:

a) ; б) .

Решение:

а)

б)

Для вычисления интеграла в пункте г) задачи 15 необходимо применить подстановку, которая называется универсальной тригонометрической подстановкой:

Если подынтегральная функция является рациональной функцией от , , то можно прийти к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки:

При этом:

; ; .

Пример 12. Найти интеграл:

Решение:

Применим подстановку:

Пример 13. Найти интеграл:

Решение:

В данной подынтегральной функции сделаем подстановку

Если подынтегральная функция содержит выражение , то полезной может оказаться подстановка

Пример 14. Найти интеграл:

Решение:

1.8 Контрольные вопросы по разделу «Неопределенный интеграл»

1. Неопределенный интеграл и его свойства. Теорема существования.

2. Таблица неопределенных интегралов.

3. Инвариантность формул интегрирования. Методы непосредственного интегрирования.

4. Интегрирование по частям для неопределенного интеграла.

5. Замена переменной в неопределенном интеграле.

6. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

7. Интегрирование рациональных функций.

8. Интегрирование тригонометрических выражений.

1.9 Задачи для проведения промежуточного контроля усвоения материала раздела «Неопределенный интеграл»

Задание 1. Найти неопределенные интегралы.

1. 1)	2. 1)
2)	2)
3)	3)
3. 1)	4. 1)
2)	2)
3)	3)
5. 1)	6. 1)
2)	2)
3)	3)
7. 1)	8. 1)
2)	2)
3)	3)
9. 1)	10.1)
2)	2)
3)	3)

Задание 2. Вычислить неопределенные интегралы методом интегрирования по частям.

10.

2. определенный интеграл

2.1 Интегральная сумма и ее предел. Определенный интеграл

Пусть на отрезке определена функция .

Разобьем отрезок на произвольных частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и найдем длину каждого такого отрезка: . Вычислим значение функции , а затем составим сумму .

Определение 1. Сумма вида называется интегральной суммой функции на отрезке , соответствующей данному разбиению.

Определение 2. Предел интегральной суммы при условии, что число частичных отрезков неограниченно увеличивается, а длина наибольшего из них стремится к нулю, называется определенным интегралом функции в пределах от до и обозначается

Теорема (условие существования определенного интеграла). Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке, то есть предел существует и не зависит от способа разбиения промежутка интегрирования на частичные отрезки и от выбора точек при каждом таком разбиении.

2.2. Основные свойства определенного интеграла

где постоянная,

Если при то

Если наименьшее, а наибольшее значения функции на отрезке , то

Теорема о среднем.

Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке найдется такая точка что

Число называется средним значением функции на отрезке

2.3 Правила вычисления определенных интегралов

При вычислении определенного интеграла следует пользоваться формулой Ньютона-Лейбница. Эта формула дает удобное правило вычисления определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница:

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , а ее произвольная первообразная на этом отрезке, то

(т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования).

Пример 1. Вычислить определенные интегралы:

а) , б) .

Решение:

а)

Преобразуем подынтегральную функцию, используя известную формулу квадрата разности:

б)

Раскроем скобки и проинтегрируем

2.4 Интегрирование по частям

Теорема. Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла:

где символ обозначает разность

Применение формулы (21) мало чем отличается от применения соответствующей формулы для неопределенного интеграла. Поэтому мы ограничимся приведением примера.

Пример 2. Найти определенный интеграл:

Решение:

Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим откуда Тогда

2.5 Замена переменной в определенном интеграле.

Часто для вычисления интеграла полезно заменить переменную интегрирования новой переменной при помощи подстановки или При этом необходимо перейти от старых пределов интегрирования и к новым пределам и , которые определяются из уравнений , .

Замена переменной осуществляется по формуле

Эта формула справедлива, если непрерывная функция, а подстановка сама непрерывна и имеет непрерывную производную на отрезке для всех

Ø Обратите внимание! При проведении замены переменной в определенном интеграле следует изменять пределы интегрирования, при этом нет необходимости возвращаться к исходной переменной .