Измерение двугранного угла

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 29

Тема: Решение задач на нахождение углов между плоскостями. Двугранных углов. Многогранных углов.

Краткие теоретические сведения

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями.

Прямая a – общая граница полуплоскостей -  называется ребром двугранного угла.

 

Измерение двугранного угла

На общем ребре а двугранного угла выберем произвольную точку О. В полуплоскости α из точки О восстановим перпендикуляр ОА к прямой а. Из той же точки О во второй полуплоскости β восставим перпендикуляр ОВ к ребру а. Получили угол АОВ, который называется линейным углом двугранного угла.

– линейный угол двугранного угла.

 

Утверждение 1. Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла.

Утверждение 2. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

В соответствии с этим различают следующие виды двугранных углов.

Двугранный угол острый, если его линейный угол острый, т.е. .

Двугранный угол прямой, когда его линейный угол равен 90°

Двугранный угол тупой, когда его линейный угол тупой, т.е. .

 

Рассмотрим фигуру, составленную из углов А₁ОА₂, А₂ОА₃, и так далее до А_пОА₁ и их внутренних областей так, что смежные углы не лежат в одной плоскости, а несмежные углы не имеют общих точек (рис. 2). Такая фигура называется многогранным углом. Такой угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из своих плоских углов.

 

Рис. 2

Теорема. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов.

Памятка:

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов

Задача 1. Двугранный угол равен 30°. На одной грани двугранного угла дана точка B, расстояние от которой до ребра равно 24 см. Чему равно расстояние от точки B до второй грани двугранного угла?

Дано: α ∩ β

BAC = 30°

BA = 24 см

Найти: BC

Решение:

1) Рассмотрим ∆ ABC - прямоугольный, AB - гипотенуза, BC - противолежащий катет.

2) По свойству прямоугольного треугольника (катет лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы)

Значит BC = 0,5 × AB = 0,5 × 24 = 12 (см)

Ответ: 12 см

Задача 2. Двугранный угол равен 45°. На одной грани двугранного угла дана точка B, расстояние от которой до ребра равно 12 см. Чему равно расстояние от точки B до второй грани двугранного угла?

Дано: α ∩ β

BAC = 45°

BA = 12 см

Найти: BC

Решение:

1) Рассмотрим ∆ ABC - прямоугольный, AB - гипотенуза, BC - противолежащий катет.

2) По свойству прямоугольного треугольника (сумма острых углов равна 90°) получаем, что BAC = CBA = 45°, значит СB = AC = x;

3) По теореме Пифагора, найдем BC:

AB² = AC²+BC²

12² = x² + x²

144 = 2 x² поделим всё уравнение на 2

x² = 72

x = разобьем  как  и извлечем корень

x = 6  

Значит BC = 6  (см)

Ответ: 6  см

Содержание работы

Вариант 1.

Задача 1. Двугранный угол равен 30°. На одной грани двугранного угла дана точка B, расстояние от которой до ребра равно 48 см. Чему равно расстояние от точки B до второй грани двугранного угла?

Задача 2. Двугранный угол равен 45°. На одной грани двугранного угла дана точка B, расстояние от которой до ребра равно 16 см. Чему равно расстояние от точки B до второй грани двугранного угла?

Вариант 2.

Задача 1. Двугранный угол равен 30°. На одной грани двугранного угла дана точка B, расстояние от которой до ребра равно 42 см. Чему равно расстояние от точки B до второй грани двугранного угла?

Задача 2. Двугранный угол равен 45°. На одной грани двугранного угла дана точка B, расстояние от которой до ребра равно 10 см. Чему равно расстояние от точки B до второй грани двугранного угла?