Понятие точечных и интервальных оценок (доверительных интервалов) параметров случайной величины. Определения. Примеры

Оценки неизвестных параметров бывают двух видов – ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ.
ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА – оценка, имеющая конкретное числовое значение. Например, среднее арифметическое: X = (x₁+x₂+…+x_n)/n,

где: X – среднее арифметическое (точечная оценка МО);
x₁,x₂,…x_n – выборочные значения; n – объем выборки.
ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА – оценка представляемая интервалом значений, внутри которого с задаваемой исследователем вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.

Интервал в интервальной оценке называется ДОВЕРИТЕЛЬНЫМ ИНТЕРВАЛОМ, задаваемая исследователем вероятность называется ДОВЕРИТЕЛЬНОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ. В практике статистических вычислений применяются стандартные значения доверительной вероятности: 0,95, 0,98 и 0,99 (95%, 98% и 99% соответственно). Например, интервальная оценка МО (3,8) при доверительной вероятности 0,95. Это означает, что МО лежит в пределах от 3 до 8 с вероятностью 0,95, следовательно вероятность того, что МО меньше 3 или больше 8 не превышает 0,05.
Очевидно, что чем выше доверительная вероятность, тем выше точность оценки, но шире доверительный интервал. Отсюда следует – ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА (ширина доверительного интервала равна 0) СОВПАДЕТ С ЛЮБЫМ ЗАДАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ИЛИ ОЦЕНИВАЕМЫМ ПАРАМЕТРОМ РАВНА 0.
Таким образом, точечная оценка имеет смысл лишь тогда, когда приведена характеристика рассеяния этой оценки (дисперсия). В противном случае она может служить лишь в качестве исходных данных для построения интервальной оценки.

Вычисление интервальной оценки рассмотрим на примере интервальной оценки МО для случайной величины подчиняющейся нормальному закону распределения. Границы доверительного интервала определятся по формулам:

X_min = X – T(ν,P)*S/(n)^1/2

 

X_max = X + T(ν,P)*S/(n)^1/2

 

где: X_min, X_max – нижняя и верхняя границы интервала;
X – среднее арифметическое (точечная оценка МО);
n – объем выборки;
T(ν,P) – поправочный коэффициент, называемый T-статистика, величина которого определяется значением задаваемой доверительной вероятности p и числом степеней свободы ν (ν=n-1);

S = [(x₁ – X)² + (x₂ – X)² + … + (x_n – X)²]^1/2 - корень квадратный из оценки дисперсии случайной величины X

 Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии (вывод).

Х ~ N (a, δ), причем значение параметра a не известно, а значение дисперсии δ2 известно.

При Х ~ N (a, δ) эффективной оценкой параметра а является Х «с крышечкой», при этом Х «с крышечкой» ~ N (а, δ/√n). Статистика Z= Х «с крышечкой»-а|δ/√n имеет распределение N(0;1) независимо от значения параметра а и как функция параметра а непрерывна и строго монотонна. Следовательно, с учетом неравенства

ψа<ψ(Ө «с крышечкой», Ө) < ψа «с крышечкой»

и симметричности двусторонних критических границ распределния N (0;1)будем иметь:

Р(-uа < Z< ua)=1-a.

Решая неравенство -uа < Х «с крышечкой»-а|δ/√n < ua относительно а, получим, что с вероятностью 1-а выполняется неравенство:

Х «с крышечкой»-uа δ/√n <а<Х «с крышечкой»+ uа δ/√n

При этом

∆= uа δ/√n

что соответствует результату Р{|Z|≤ uа }=1-a, или Ф(uа) = (1-a)/2 число uа находят по таблице из условия Ф(uа) = (1-a)/2.

 

Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии (вывод).

Х ~ N (a, δ), причем числовые значения ни а ни δ²  не известны. По случайной выборке найдем эффективную оценку параметра а: Х «с крышечкой» и оценку

                    _n

       s²=1|n-1 *Σ(X_i-X «с крышечкой»)² параметра δ²

                                     ⁱ⁼¹   

Построение интервальной оценки для а основано на статистике

t(n-1)= X «с крышечкой»- а |s/√ n, которая при случайной выборке из генеральной совокупности Х ~ N(a, δ) имеет распределение Стьюдента с (n-1) степенью свободы независимо от значения параметра а и как функция параметра а непрерывна и строго монотонна.

С учетом неравенства

Х «с крышечкой»-u _а δ/√ n <а< Х «с крышечкой»+ u _а δ/√ n и симметричности двусторонних критических границ распределения Стьюдента будем иметь:

 

Р(-t _a <t(n-1)< t _a)=1- a

Решая неравенство -t _a <X «с крышечкой»- а |s/√ n < t _a относительно а, получим, что с вероятностью 1- а выполняется неравенство

 

Х «с крышечкой» -t _a s/√ n < Х «с крышечкой»+t _a s/√ n

и ошибка оценки Х «с крышечкой» при неизвестном значении параметра δ²       

∆ t _a s/√ n,

где число t _a находят по таблице при k=n-1 и p= a

Х «с крышечкой»- u _а s/√ n<a< Х «с крышечкой»+ u _а s/√ n где Ф(u _а)=(1- а)/2

 

 

Р