Первый признак сравнения

 

Пусть ряды  и  являются положительными. Если для всех номеров  выполняется неравенство , то ряд  назовем меньшим рядом, а ряд  – большим.

Теорема 5.1. Пусть ряды   и   являются положительными, и выполняется неравенство . Тогда:

1) из сходимости большего ряда вытекает сходимость меньшего ряда;

2) из расходимости меньшего ряда вытекает расходимость большего ряда.

Замечание. Утверждение теоремы 5.1 остается верным, если неравенство  выполняется не для всех номеров , а начиная с некоторого номера , то есть при всех .

 

Второй признак сравнения

 

Пусть ряды  и  являются положительными. В первом признаке сравнения требуется, чтобы один из рядов был большим, а другой меньшим. В следующем признаке это условие не требуется. Вместо этого требуется вычисление предела отношения общих членов этих рядов.

Теорема 6.1. Пусть ряды   и   являются положительными, и существует предел отношения их общих членов

.

Тогда, если выполняется двойное неравенство , то:

1) из сходимости одного из рядов вытекает сходимость другого;

2) из расходимости одного из рядов вытекает расходимость другого.

 

Признак Даламбера

 

Теорема 7.1. Пусть ряд   является положительным и существует предел отношения последующего члена к предыдущему при неограниченном возрастании номера этих членов, то есть

.

Тогда, если:

1) , то ряд сходится;

2) , то ряд расходится.

Замечание. При  признак Даламбера на вопрос о том, что сходится или расходится ряд, ответа не дает. В этом случае может иметь место, как сходимость, так и расходимость.

 

Радикальный признак Коши

 

Теорема 8.1. Пусть ряд   является положительным и существует предел корня -й степени из -го члена при неограниченном возрастании номера , то есть

.

Тогда, если:

1) , то ряд сходится;

2) , то ряд расходится.

Замечание. При  радикальный признак Коши на вопрос о том, что сходится или расходится ряд, ответа не дает. В этом случае может иметь место, как сходимость, так и расходимость.