Операции над матрицами

Матрицы: основные определения и понятия

Определение

Матрицей размера называется прямоугольная таблица, содержащая чисел, состоящая из строк и столбцов.

Обозначение

Таблица берется либо в круглые скобки, либо окружается двумя параллельными вертикальными прямыми.

Пример

Если матрица содержит строк и столбцов, то матрица называется матрицей размера или -матрицей. Размер матрицы указывается справа внизу возле ее имени, либо таблицы с обозначением элементов.

Пример

Элементы матрицы

Элементы матрицы обозначаются , где - номер строки, в которой находится элемент, а - номер столбца.

Пример

Задание. Чему равен элемент матрицы ?

Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:

Таким образом, .

Ответ.

Определение

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Если хотя бы один из элементов строки не равен нулю, то строка называется ненулевой.

Замечание. Аналогичное определение и для нулевого и ненулевого столбцов матрицы.

Пример

В матрице первая строка является нулевой (любой элемент этой строки равен нулю); вторая строка ненулевая, так как элемент .

Диагонали

Определение

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний.

Пример

: 1 и 6 - элементы главной диагонали.

: 3 и 4 - элементы побочной диагонали.

Виды матриц

Определение

Матрица размера называется квадратной, число называется порядком матрицы.

Пример

- квадратная матрица порядка 2 или матрица второго порядка.

Определение

Матрица называется нулевой, если все её элементы равны нулю, т.е. .

Пример

Определение

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, - вектор-столбцом.

Пример

- вектор-строка; - вектор-столбец.

Диагональные матрицы

Определение

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Замечание. Диагональные элементы матрицы (т.е. элементы, стоящие на главной диагонали) могут также равняться нулю.

Пример

Определение

Скалярной называется диагональная матрица , у которой все диагональные элементы равны между собой.

Замечание. Если нулевая матрица является квадратной, то она также является и скалярной.

Пример

Определение

Единичной матрицей называется скалярная матрица порядка , диагональные элементы которой равны 1.

Замечание. Для сокращения записи порядок единичной матрицы можно не писать, тогда единичная матрица обозначается просто .

Пример

- единичная матрица второго порядка.

Треугольные матрицы

Определение

Матрица называется верхней треугольной матрицей, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Матрица называется нижней треугольной матрицей, если все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Замечание. Диагональная матрица - это пример матрицы, которая является одновременно верхне- и нижнетреугольной.

Пример

- верхнетреугольная матрица.

 

Для матрицы элементы 1, 2, -1 образуют главную диагональ; а элементы 3, 2, 2 - побочную.

Операции над матрицами

Некоторые операции над матрицами, такие как сложение и вычитание, допускаются только для матриц одинакового размера.

Равные матрицы

Определение

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:

Пример

. Эти матрицы равны, т.к. равны их размеры: и , а также соответствующие элементы: ;

Пример

Задание. Пусть задана матрица . Найти все элементы матрицы , если известно, что она равна матрице

Решение. Так как матрицы и равны, то равны и их соответствующие элементы, т.е.

Ответ.