Переходные процессы в простейших трехфазных цепях

На рис.1.14 представлена модель простейшей трехфазной схемы с элементами преобразования координат.

В модели трехфазный выключатель Breaker настроен на одновременное включение на землю всех фаз трехфазной цепи в ее средней точке. Выключатель управляется блоком Step, момент срабатывания которого задается в настроечной коробке блока. Источники напряжения U1–U3 настроены на амплитуду выходного напряжения U _m; начальная фаза напряжения U ₁ равна нулю, последующих – со сдвигом на 120 градусов. Мультиметр (Multimeter) настроен на измерение токов в каждом из сопротивлений Z₁–Z₆ трехфазной цепи, а селекторы выделяют векторы трехфазных токов левой и правой ветвей для последующего их преобразования в составляющие i_d, i_q и в обобщенные векторы тока I.

Трехфазная цепь состоит из источников напряжения и активно-индуктивной нагрузки, состоящей из левой – сопротивления Z₁–Z₃ и правой – сопротивления Z₄–Z₆ ветвей. Индуктивности каждой из фаз не имеют взаимно индуктивных связей.¹

Примечание. Рассматривается схема без взаимных индуктивностей фаз левой ветви, поскольку схему с взаимно индуктивными связями можно преобразовать в эквивалентную без взаимных индуктивностей [ТОЭ, Основы теории цепей, Ионкин, с 385 – 387].

При срабатывании выключателя цепь разделяется на две ветви. Левая ветвь оказывается под действием напряжения источников и в ней возникают принужденные токи, а правая подключается к земле и в ней возникают свободные токи.

Правая ветвь. Свободная (апериодическая) составляющая тока любой из фаз правой ветви схемы определяется уравнением решение которого , где Т_а = L/R – постоянная времени цепи; i _{0 св} – начальное значение свободного тока, зависящее от момента включения кз относительно синусоиды напряжения фазы.

Левая ветвь. Принужденная составляющая тока каждой из фаз определяется уравнением (1.1), решение которого (1.2).

В уравнениях: z_к – сопротивление цепи короткого замыкания (левой ветви схемы); j_к = arctg X_к/R_к – угол сдвига тока относительно напряжения; Т_k = L_k/R_k – постоянная времени цепи короткого замыкания.

Выражение (1.2) имеет два члена: первый определяет периодическую составляющую тока кз, а второй – свободную. Периодическая составляющая тока в данном случае является принужденным током с амплитудой , а свободная (апериодическая) – затухает по экспоненте с постоянной времени Т_k = L_k/R_k.

(1.10)

Определим начальное значение свободной составляющей тока i _{0 a} применительно к фазе а из начальных условий для выражения (1.2) и основываясь первым законом коммутации:

(1.11)

откуда

Рис. 1.14. SPS -модель простейшей трехфазной системы с преобразованием токов из координат авс в координаты dq0

В (1.10), (1.11) , – сопротивление короткозамкнутого участка цепи.

Начальное значение тока фазы а в момент до коммутации i _{0 t -} определяется выражением

(1.12)

где , z – полное сопротивление фазы а, j = arctg X/R – угол сдвига тока относительно напряжения в фазе а до короткого замыкания.

(1.13)

Таким образом, выражение для принужденного тока будет иметь вид:

Из сопоставления (1.13) и (1.2) следует, что переходный ток в короткозамкнутой LR -цепи фазы отличается от переходного тока при включении LR -цепи на синусоидальное напряжение только начальным значением свободной составляющей тока, которая в первом случае дополнительно определяется значением тока в момент, предшествующий короткому замыканию.

Как показано в разделе (1.1), абсолютное значение переходного тока принимает максимальное значение при условии, что начальный угол синусоиды напряжения α в момент включения LR -цепи равен нулю. Это же условие очевидно можно распространить и на переходной ток одной из фаз при коротком замыкании в трехфазной цепи.

Переходной процесс в левой и правой ветви схемы рис. 1.14 представлен на рис. 1.15, а, б. Он вызван включением короткозамыкателя (Breaker) через 0,04с после начала интегрирования. Начальный угол синусоиды напряжения трехфазного источника напряжения для фазы а задавался равным нулю.

В схеме приняты следующие параметры: В, сопротивления левой и правой ветвей схемы для фазы а: = 15,73 86,36˚ Ом, = 62,93 86,36˚Ом; сопротивление фазы до включения короткозамыкателя:

Ом;

сопротивления остальных фаз такие же.

Для условий примера:

– амплитуда фазного тока в исходном режиме (до кз): I_m = 0,1789 А;

– амплитуда установившегося тока в короткозамкнутой ветви:

I_mк = u_m / z_к = 10 / (1 + j314× 0,05) = 0,899 А;

–углы сдвига фазного тока относительно фазного напряжения в исходном режиме и в короткозамкнутой ветви равны: 86,36˚;

– посянные времени затухания свободных составляющих фазныхтоков в исхоном режиме и в короткозамкнутой ветви также равны: .

– максимальное значение переходного тока левой ветви имеет место в фазе а, которое равно:

= 1,5А;

– начальное значение свободной составляющей тока в фазе а:

= + 0,558 А.

Максимальный переходной ток других фаз легко рассчитать, подставив в (1.13), соответствующе значение a в принужденную составляющую переходного тока и начальные значения свободной составляющей тока, которые для фаз в и с соответственно равны:

Рис. 1.15. Переходный процесс в правой и левой ветвях трехфазной цепи в координатах авс при коротком замыкании

На рис. 1.16 представлены токи в координатах dq 0 и обобщенные векторы трехфазного тока для левой и правой ветвей схемы, полученные на модели рис. 1.14. Обобщенный вектор трехфазного тока рассчитывался по выражению , которое в модели на рис. 1.14 реализует блок Hypot ( гипотенуза ).