Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частными производными второго порядка от функции  называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Обозначение частных производных второго порядка:

; ; ;

Аналогично определяются производные третьего и более высших порядков, например

; ; ; и т.д.

Частные производные второго порядка вида  и  называются смешанными и равны между собой, то есть =

Дифференциалом второго порядка от функции  называется дифференциал от ее полного дифференциала, то есть .

Аналогично определяются дифференциалы третьего и более высших порядков, например ; …; .

Если x и y – независимые переменные и функция  имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:

или в общем виде

Экстремум функции двух переменных.

Если для функции , определенной в некоторой окрестности точки  верно неравенство , то точка М ₀ называется точкой максимума.

Если для функции , определенной в некоторой окрестности точки  верно неравенство , то точка М ₀ называется точкой минимума.

Необходимые условия экстремума.

Теорема2. Если функция  имеет в точке  экстремум, то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю, то есть

Точки, в которых частные производные равны нулю, будем называть критическими. Но не всякая критическая точка является точкой экстремума.