2020-05-21
130
Пример 1. 
Сделаем проверку: Берем производную от правой части:
– исходная подынтегральная функция.
Пример 2
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Решение: Удобнее переписать его на бумагу.
(1) Применяем правило 
.
(2) Согласно правилу 
, выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом 
– это константа, её также выносим.
Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:
Проверку в каждом примере делать не обязательно. Если только заявлено в задании.
Пример 3
Найти неопределенный интеграл.
Решение:
Пример 4.
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Решение: Анализируя интеграл, мы видим, что у нас произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, нет хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного 
, 
.
А поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму?
|
|
|
Рассматриваемый пример – тот случай, когда можно. Сначала я приведу полное решение, комментарии будут ниже.
(1) Используем формулу квадрата суммы 
, избавляясь от степени.
(2) Вносим 
в скобку, избавляясь от произведения.
(3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу).
(4) Превращаем интегралы по табличной формуле 
.
(5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробь 
– она несократима и в ответ входит именно в таком виде. Не нужно делить на калькуляторе 
! Не нужно представлять ее в виде 
!
Проверка:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
В ходе проверки функцию всегда желательно «упаковать» до первоначального вида, вынося в данном случае за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении: 
Пример 5.
Найти неопределенный интеграл.
Решение:
В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения 
Пример 6.
Найти неопределенный интеграл.
В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?
Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Можно почленно разделить числитель на знаменатель:
Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил , . Обычно уже при начальном опыте решения интегралов данные свойства считают само собой разумеющимися и не расписывают подробно.
|
|
|
Пример 7.
Найти неопределенный интеграл.
Решение:
