Способы проецирования

Принятые обозначения

1. А(А₁, А₂), В(В₁ ,В₂), С(С₁ ,С₂), D(D₁,D₂),… - точки А,… эпюра, заданные (А₁ – горизонтальной, А₂ – фронтальной проекциями).
2. l, m, n, АВ, CD,…- прямые (отрезки прямых).
3. α, β, γ,… - плоскости.
4. č, š, ň,…- плоские кривые.
5. Ω,Φ,Θ,… - поверхности (многогранные или кривые).
6. º - знак совпадения (А₁ º В₁  - совпадение горизонтальных проекций точек А и В)
7. Î(Ï), Ì(Ë), ', É - знаки принадлежности (непринадлежности):

а) А Î(Ï) l – точка А принадлежит (не принадлежит) прямой l;

б) l Ì(Ë) α – прямая l принадлежит (не принадлежит) плоскости α;

в) l ' А – прямая l проходит через точку А;

г) α É l – плоскость α проходит через прямую l.

1. Ç - знак пересечения (α Ç β - пересечение плоскостей α и β).
2. È - знак объединения: α(l È А) – плоскость α задана прямой l и точкой А.
3. ,  - знаки перпендикулярности (неперпендикулярности).
4. ,   - знаки параллельности (непараллельности).
5. - знак скрещивающихся прямых.
6. Û, Þ, Ü - знаки соответствия.
7.  | АВ | - знак натуральной величины (НВ) отрезка прямой АВ.

Предмет НГ

Начертательная геометрия (НГ) изучает способы построения плоских изображений  геометрических объектов. В курсе НГ обычно рассматриваются следующие разделы:

1. Построение и преобразование ортогональных чертежей (эпюр) геометрических фигур;

2. Проекции с числовыми отметками;

3. Линейная перспектива.

В настоящем конспекте будет рассмотрен первый раздел: способы построения и преобразования эпюр следующих геометрических фигур: точка, прямая, плоскость, многогранная и кривая поверхность. Изучение этих способов будет иллюстрироваться решением позиционных, метрических и конструктивных задач.

Позиционные задачи – это задачи на взаимное расположение, принадлежность или пересечение геометрических фигур (например, построение отрезка, лежащего в плоскости, параллельного или перпендикулярного плоскости, взаимное пересечение двух плоскостей, кривых поверхностей и. т.п.).

Метрические задачи – это задачи по определению линейных или угловых размеров геометрических фигур, а также расстояний между ними (например, определение длины отрезка прямой и углов наклона этой прямой к плоскостям проекций, определение натуральной величины (НВ) плоского или двугранного угла, определение НВ сечения многогранника (кривой поверхности) плоскостью и др.).

Конструктивные задачи – построение геометрических фигур по заданным условиям.

Способы проецирования

В основе построения изображений объектов лежит их проецирование на плоскость проекций (картину). В НГ рассматриваются два способа проецирования: центральное и параллельное проецировани е.

Центральное проецирование простейшего геометрического объекта – точки А осуществляется путем проведения луча из точки S, называемой центром проецирования, через заданную точку А до пересечения его в точке А_К с плоскостью картины К. На рис. 1 показана центральная проекция А_КВ_К   отрезка АВ. Центральное проецирование рассматривается в разделе НГ -  Линейная перспектива, где изучаются способы построения на картине реальных объектов (объектов природы, улиц, зданий и сооружений, интерьеров комнат и др.).

Параллельное проецирование точки А осуществляется путём проведения через неё прямой параллельно направлению проецирования S (рис. 2). Точка А_П пересечения такой прямой с плоскостью проекций П называется параллельной проекцией точки А.

В зависимости от ориентации вектора S по отношению к плоскости П различают:

а) ортогональное (прямоугольное) проецирование, если S ^ П (этот метод будет использоваться далее как основной инструмент для построения ортогональных чертежей);

б) косоугольное проецирование, если S  П (например, этот метод используется при построении косоугольных аксонометрических проекций).

Свойства параллельных проекций:

1. Проекцией прямой есть прямая или точка. Проекция прямой в виде точки называется вырожденной проекцией прямой. Она возникает, если  проецируемая прямая параллельна направлению проецирования S.

2. Если точка расположена на прямой, то проекция этой точки расположена на проекции прямой.

3. Если прямые параллельны, то параллельны и их проекции.

4. Отношение длин отрезков прямой равно отношению длин проекций этих отрезков.