Диэлектрическая реакция электронного газа

Свободный электронный газ во внешних полях

Начнем рассмотрение электронного газа во внешнем электрическом поле. Статическая реакция электронного газа сводится к электростатическому экранированию кулоновского взаимодействия. Динамическая реакция  электронного газа проявляется в типичном для металлов отражении света и в возбуждении плазмонов – форме коллективного движения электронного газа.

Уравнение Максвелла, учитывающие диэлектрическую реакцию среды, записывается в виде

                                     (3.1)

где  - электростатическая индукция ();  - поляризация (дипольный электрический момент единицы объема). Первое слагаемое обусловлено смещением свободных электронов,  - смещением связанных зарядов.

 

Диэлектрическая реакция электронного газа

В отсутствие столкновений уравнение движения свободного электрона в электрическом поле имеет вид:

.                             (3.2)

Если  периодические функции времени , то из (3.2) получим

 - , отсюда

.                                                 (3.3)

Дипольный момент электрона

,                                          (3.4а)

а для поляризации имеем:

,                                         (3.4б)

где n – концентрация электронов.

Введем диэлектрическую функцию при частоте , определяя ее соотношением

.                     (3.5)

Воспользуемся выражениями (3.4) и (3.5) для нахождения диэлектрической функции свободного электронного газа. В результате получим:

.                                        (3.6)

Введем обозначение

,                                        (3.7)

где - плазменная частота.

Теперь диэлектрическую функцию можно записать в виде

.                                       (3.8)

Зависимость диэлектрической функции от частоты  приведена на рис. 3.1.

 

Рис. 3.1. Зависимость диэлектрической функции от частоты. Электромагнитные волны распространяются лишь при . Когда  (отрицательна), то электромагнитные волны полностью отражаются от среды.

Плазменной частоте  соответствует длина волны . Электромагнитное излучение будет распространяться в среде только в том случае, если в свободном пространстве длина волны этого излучения будет меньше . В противном случае будет иметь место отражение.

Распространение электромагнитных волн в плазме (поперечные оптические моды). При всех частотах, меньших , величина  отрицательна. Дисперсионный закон

                                            (3.9)

для электромагнитных волн не дает никаких волновых решений при отрицательной диэлектрической проницаемости (решения имеют вид  в области частот ). Волны, падающие на такую среду, полностью отражаются. Электронный газ действует как частотный фильтр. Он становится прозрачным лишь для волн с частотами . Если для диэлектрической функции использовать выражение (3.8), то для дисперсионного закона получим:

;                                          (3.10)

Закон в таком виде справедлив для поперечных электромагнитных волн в плазме (рис. 3.2).

 

Рис. 3.2. Дисперсионный закон для поперечных электромагнитных волн в плазме.

Оценки, сделанные на основе приведенных выше результатов, показывают, что простые металлы должны отражать свет в видимой части спектра и быть прозрачными в ультрафиолетовой области спектра. Экспериментально это было установлено  Вудом.

Отражение света от металлов полностью аналогично отражению радиоволн от ионосферы.

Распространение электромагнитных волн в плазме (продольные оптические моды). Нули диэлектрической функции определяют частоты продольных оптических мод. Иначе говоря, условие

                                     (3.11)

определяет частоту продольных волн . Если диэлектрическая функция электронного газа равна нулю, имеем:

                               (3.12)

откуда

.                                             (3.13)

Итак, имеем свободное продольное колебание электронного газа, частота которого равна плазменной частоте. Природу волны плотности заряда (плазменные колебания) можно понять, используя простую модель. Представим себе (рис. 3.3), что мы сместили в тонкой металлической пластине электронный газ как целое на расстояние   относительно положительного ионного фона. В результате смещения возникнет поверхностный заряд, который создает электрическое поле , действующее как возвращающая сила.

 

 

Рис. 3.3.  К теории плазменных колебаний.

Уравнение движения единицы объема электронного газа запишется в виде

,                                   (3.14)

или

.                               (3.15)  

Плазменные колебания с малыми волновыми векторами имеют частоту, равную приближенно . Плазменные колебания в металлах есть коллективные продольные возбуждения газа электронов проводимости. Квант энергии плазменных колебаний называется плазмоном. Плазмоны можно возбудить, пропуская электроны через тонкую металлическую пластину или в результате отражения электронов или фотонов от металлической пленки. Коллективные плазменные колебания можно возбудить также и в диэлектрических пленках. Энергия плазмонов составляет   3 – 30 эВ.  Время жизни плазмона с.