Составление дифференциальных уравнений

Лекция 24-28.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка, основные понятия. Понятие дифференциального уравнения высшего порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, с правой частью специального вида. Системы дифференциальных уравнений. Метод исключения.

1.Дифференциальные уравнения первого порядка.

2. Задача Коши.

3. Виды дифференциальных уравнений первого  порядка, методы их решения.

4. Понятие  дифференциальных уравнений высшего порядка.

5. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.

6. Системы дифференциальных уравнений. Метод исключения.

 

При решении многих прикладных задач необходимо связать величины, характеризующие исследуемые явления. Сделать это непосредственно, опираясь на законы той области науки, к которой относится задача, часто затруднительно. Обычно легче устанавливаются зависимости между величинами и их производными или дифференциалами (более того, многие физические законы формулируются для физически бесконечно малых приращений величин, соответствующих как раз дифференциалам).[1] Подобного рода зависимости и называются дифференциальными уравнениями.

 

Составление дифференциальных уравнений

           Универсального алгоритма составления дифференциальных уравнений, описывающих тот или иной физический процесс или явление, нет. Здесь требуется хорошее знание физических законов той области науки, к которой относится рассматриваемая задача, и определенный опыт.

Приведем несколько примеров на составление дифференциальных уравнений.

Пример 1.1. Моторная лодка движется в спокойной воде. Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. Составить дифференциальное уравнение движения лодки.         

На движущуюся лодку действует сила сопротивления F = - kv,где  - скорость движения лодки, k - коэффициент пропорциональности. По закону Ньютона сила равна произведению массы на ускорение F=  (  - масса лодки), откуда диффе­ренциальное уравнение движения имеет вид

                                                              (1.1)

Пример 1.2. Водород расширяется при постоянной температуре от своего первоначального объема V₀, имея первоначальное давле­ние р₀, при некотором внешнем давлении, которое бесконечно мало отличается от давления газа. Составить дифференциальное уравнение процесса расширения водорода.         

 Бесконечно малая работа, совершаемая при увеличении объема газа на величину dV, есть dW = pdV. Это – дифференциальное уравнение процесса. В данном случае газ расширяется изотермически и поэтому подчиняется закону Бойля—Мариотта pV = p₀V₀. Отсюда

p =

Тогда дифференциальное уравнение процесса примет вид

                                       dW =                      (1.2)      Пример 1.3. Пластина из графита толщиной 10 мм на поверх­ностях имеет постоянные температуры T₁= 1300° С и T₂= 100° С. Составить дифференциальное уравнение процесса теплопереноса (коэффициент теплопроводности графитной пластины ).

По закону Фурье  

q = ,

где q - удельный поток теплоты,  - коэффициент теплопроводности,  скорость изменения температуры.

Подставляя данные задачи в это соотношение, получим дифференциальное уравнение процесса переноса тепла

.                                  (1.3)