Однородные дифференциальные уравнения

  Дифференциальное уравнение называется од­нородным, если оно имеет вид

                                                                  (2.19)

В некоторых случаях полезно пользоваться другим равносильным определением однородного дифференциального уравнения. Предварительно отметим следующее. Функция двух аргументов называется однородной степени п, если умножение всех ее аргументов на одно и то же число t равносильно умножению функции на , т.е.

.

Оказывается, что всякая однородная функция F(х, у) степени n представима в виде

.

С помощью этого свойства можно показать, что определение (2.19) равносильно следующему:

Если в дифференциальном уравнении

 P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0                              (2.20)

коэффициенты P(x,y) и Q(x,y) – однородные функции одной и той же степени, то уравнение (2.20) называется однородным.

Уравнение (2.19) решается при помощи введении новой неизвестной функции:

                                               (2.21)

В самом деле, из (2.21) следует, что y=zx, откуда y’=z’x+z. Подставляя эти выражения в (2.19), получим z’x+z=f(z) или

В этом уравнении переменные отделяются:

Интегрируя и обозначая  через F(z), находим F(z)=lnx+C или, возвращаясь к старой неизвестной функции у, . Это общий интеграл нашего дифференциального уравнения.

Пример 2.4.  Дифференциальное уравнение

однородное. Подстановка y = zx дает z’x + z = z + tg z откуда

или

                                                    .

Интегрируя, получим ln sin z=ln x+ln C, т.е. sin z = Сx. Отсюда z=arcsinCx и у=х arcsinCx.

Для решения уравнения (2.20) можно поступить двояко: или при­вести его предварительно к виду (2.19), или же сразу применить под­становку (2.20).    

Пример 2.5.

(7x²-2xy+6y²)dx+(x²-4xy)dy=0.                                (2.22)

Первый способ решения. Переписываем уравнение (2.22) так:

или, деля числитель и знаменатель на ,

.

Это дифференциальное уравнение вида (2.19), и мы полагаем у=zх. Далее продолжаем, как в предыдущем примере.

Второй способ решения. Делаем подстановку (2.21) непосредственно в уравнении (2.22). Так как y=zx, а  dy=xdz+zdx, то получим

(7x²-2x²z+6x²z²)dx + (x²-4x²z)(xdz+zdx) = 0.

Сокращая на х² и делая перегруппировку, имеем

(7-z+2z²)dx + (1-4z)xdz = 0.

Это уравнение с разделяющимися переменными, решать которое мы умеем.

Практические примеры

Приведем несколько примеров на исследование математической модели конкретной физической задачи. Вернемся к системам, рассмотренным в разделе 1.1, и поставим теперь конкретные вопросы относительно их свойств.

Пример 2.6. Моторная лодка движется в спокойной воде со ско­ростью v₀= 20 км/ч. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до v₁=8 км/ч. Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. Определить скорость лодки через 2 мин после остановки мотора.         

Решение. Движение лодки описывается дифференциальным уравнением (1.1)           

                                 (2.23)

Очевидно,

или

ln v = .

Потенцируя, получим общее решение уравнения (2.23):

.

Начальное условие: при t = 0 v = 20 км/ч. Откуда

20 =  и С = 20.